Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine o momento angular do sistema se ele estiver girando com uma velocidade angular no sentido horário (visto de cima). Indique o sentido do vetor momento angular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas crianças, cada uma com massa , sentadas nas extremidades de uma barra também com massa e comprimento . A barra está suspensa pelo centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical. Queremos descobrir qual é o momento angular do sistema quando ele está girando com uma velocidade angular no sentido horário (visto de cima) e indicar a direção do vetor momento angular. Vamos usar conceitos de momento de inércia e momento angular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular ( ) de um objeto em rotação é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o momento de inércia do sistema.
  • é o vetor velocidade angular.
Então, para encontrar o momento angular, precisamos calcular o momento de inércia total do sistema (barra + crianças).

Passo 3

Vamos começar calculando o momento de inércia da barra. Para uma barra uniforme de massa e comprimento que gira em torno de seu centro, o momento de inércia é dado por:

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada criança. Cada criança está a uma distância do eixo de rotação. O momento de inércia para um ponto de massa é:
ç
Como são duas crianças, o momento de inércia total das crianças é:
ç

Passo 5

Agora, somamos os momentos de inércia da barra e das crianças para obter o momento de inércia total do sistema:
ç

Passo 6

Com o momento de inércia total calculado, podemos determinar o momento angular usando a fórmula mencionada no Passo 2:

Resposta

O momento angular do sistema é:
O vetor momento angular aponta para baixo, perpendicular ao plano de rotação, seguindo a regra da mão direita para movimentos no sentido horário vistos de cima.

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