Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine o momento angular do sistema se ele estiver girando com uma velocidade angular
no sentido horário (visto de cima). Indique o sentido do vetor momento angular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas crianças, cada uma com massa
, sentadas nas extremidades de uma barra também com massa
e comprimento
. A barra está suspensa pelo centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical. Queremos descobrir qual é o momento angular do sistema quando ele está girando com uma velocidade angular
no sentido horário (visto de cima) e indicar a direção do vetor momento angular. Vamos usar conceitos de momento de inércia e momento angular para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular (
) de um objeto em rotação é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o momento de inércia do sistema. -
é o vetor velocidade angular.
Então, para encontrar o momento angular, precisamos calcular o momento de inércia total do sistema (barra + crianças).
Passo 3
Vamos começar calculando o momento de inércia da barra. Para uma barra uniforme de massa
e comprimento
que gira em torno de seu centro, o momento de inércia é dado por:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada criança. Cada criança está a uma distância
do eixo de rotação. O momento de inércia para um ponto de massa é:
Como são duas crianças, o momento de inércia total das crianças é:
Passo 5
Agora, somamos os momentos de inércia da barra e das crianças para obter o momento de inércia total do sistema:
Passo 6
Com o momento de inércia total calculado, podemos determinar o momento angular usando a fórmula mencionada no Passo 2:
Resposta
O momento angular do sistema é:
O vetor momento angular aponta para baixo, perpendicular ao plano de rotação, seguindo a regra da mão direita para movimentos no sentido horário vistos de cima.
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