Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma hélice feita de quatro tábuas iguais, formando quatro ângulos retos, que está girando sem atrito com uma velocidade angular
em torno do seu centro. O momento de inércia dessa hélice em relação ao eixo de rotação é
, e o raio da hélice é
. Aí, um menino atira uma geléia de massa
na parte de cima de uma das tábuas, com velocidade
, e a geléia fica grudada na tábua.
O que vamos precisar:
- Momento de inércia: medida de quanta “massa” está distribuída em relação ao eixo de rotação.
- Conservação do momento angular: quando não tem torque externo, o momento angular total se conserva.
- Velocidade angular: relação entre a velocidade linear (
) e a velocidade de rotação ( ).
Vamos descobrir qual fica a nova velocidade angular da hélice após a geléia grudar na tábua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece na colisão. A geléia com massa
e velocidade
atinge a tábua da hélice e fica grudada nela. Isso é uma colisão inelástica, porque a geléia permanece presa à tábua após o impacto.
Quando ocorre uma colisão inelástica em um sistema rotacional sem atrito externo, o momento angular total antes da colisão é igual ao momento angular total depois da colisão. Isso significa que podemos usar a conservação do momento angular para encontrar a nova velocidade angular.
Passo 3
Vamos calcular o momento angular antes da colisão.
-
Hélice: A hélice está girando com velocidade angular
e tem momento de inércia . O momento angular da hélice é: -
Geléia: A geléia está se movendo linearmente com velocidade
e vai atingir a tábua a uma distância do eixo. O momento angular da geléia em relação ao eixo de rotação é dado por: (porque momento angular, e aqui e , e o ângulo entre eles é 90°).
Então, o momento angular total antes da colisão é:
Passo 4
Agora, após a colisão, a geléia está grudada na tábua, então ela passa a fazer parte do sistema que está girando. O novo momento de inércia do sistema será a soma do momento de inércia original da hélice com o momento de inércia da geléia adicionada.
O momento de inércia da geléia, que agora está a uma distância
do eixo, é:
Então, o novo momento de inércia do sistema é:
Como a conservação do momento angular se aplica, temos:
Onde
é a nova velocidade angular após a colisão.
Passo 5
Vamos isolar
para encontrar a nova velocidade angular:
Interpretação: A nova velocidade angular
é uma combinação da velocidade angular original da hélice e do efeito da geléia que foi adicionada ao sistema. Se a massa da geléia for significativa ou sua velocidade
for alta,
pode diminuir, já que o momento de inércia total aumentou.
Resposta
A nova velocidade angular da hélice após a geléia grudar na tábua é:
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