Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade omega em torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é I e o raio da hélice é R. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa m que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade v e fica grudada nela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma hélice feita de quatro tábuas iguais, formando quatro ângulos retos, que está girando sem atrito com uma velocidade angular em torno do seu centro. O momento de inércia dessa hélice em relação ao eixo de rotação é , e o raio da hélice é . Aí, um menino atira uma geléia de massa na parte de cima de uma das tábuas, com velocidade , e a geléia fica grudada na tábua.
O que vamos precisar:
  • Momento de inércia: medida de quanta “massa” está distribuída em relação ao eixo de rotação.
  • Conservação do momento angular: quando não tem torque externo, o momento angular total se conserva.
  • Velocidade angular: relação entre a velocidade linear ( ) e a velocidade de rotação ( ).
Vamos descobrir qual fica a nova velocidade angular da hélice após a geléia grudar na tábua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece na colisão. A geléia com massa e velocidade atinge a tábua da hélice e fica grudada nela. Isso é uma colisão inelástica, porque a geléia permanece presa à tábua após o impacto.
Quando ocorre uma colisão inelástica em um sistema rotacional sem atrito externo, o momento angular total antes da colisão é igual ao momento angular total depois da colisão. Isso significa que podemos usar a conservação do momento angular para encontrar a nova velocidade angular.

Passo 3

Vamos calcular o momento angular antes da colisão.
  • Hélice: A hélice está girando com velocidade angular Lhélice = I cdot omega e tem momento de inércia L>=léia = m cdot v cdot R . O momento angular da hélice é:
    Ltotal antes = I cdot omega + m cdot v cdot R é
  • Geléia: A geléia está se movendo linearmente com velocidade e vai atingir a tábua a uma distância do eixo. O momento angular da geléia em relação ao eixo de rotação é dado por:
    é
    (porque momento angular , e aqui e , e o ângulo entre eles é 90°).
Então, o momento angular total antes da colisão é:

Passo 4

Agora, após a colisão, a geléia está grudada na tábua, então ela passa a fazer parte do sistema que está girando. O novo momento de inércia do sistema será a soma do momento de inércia original da hélice com o momento de inércia da geléia adicionada.
O momento de inércia da geléia, que agora está a uma distância I>=léia = m cdot R^2 do eixo, é:
Inovo = I + m cdot R^2 é
Então, o novo momento de inércia do sistema é:
Ltotal antes = Ltotal depois
Como a conservação do momento angular se aplica, temos:
I cdot omega + m cdot v cdot R = (I + m cdot R^2) cdot omega'
Onde é a nova velocidade angular após a colisão.

Passo 5

Vamos isolar omega' = I cdot omega + m cdot v cdot RI + m cdot R^2 para encontrar a nova velocidade angular:
Interpretação: A nova velocidade angular é uma combinação da velocidade angular original da hélice e do efeito da geléia que foi adicionada ao sistema. Se a massa da geléia for significativa ou sua velocidade for alta, pode diminuir, já que o momento de inércia total aumentou.

Resposta

A nova velocidade angular da hélice após a geléia grudar na tábua é:
omega' = I cdot omega + m cdot v cdot RI + m cdot R^2

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