Um cilindro de massa
e raio
é enrolado através de dois fios, cada um preso a uma das extremidades do cilindro, sendo a outra ponta presa ao teto (veja a figura abaixo). O cilindro é inicialmente mantido na horizontal, sendo em seguida abandonado, com os fios permanecendo na direção vertical. Determine a tensão em cada fio, enquanto eles estão se desenrolando.
Passo 1
Resumo do Problema e Conteúdo:
Estamos lidando com um cilindro de massa e raio
preso por dois fios ao teto. Inicialmente, o cilindro está na horizontal e é liberado, permitindo que os fios se desenrolem verticalmente. Queremos descobrir qual a tensão em cada fio durante esse desenrolar.
Estamos lidando com um cilindro de massa
Conteúdos Necessários:
- Leis de Newton: para analisar as forças atuantes no cilindro.
- Rotação e Torque: para entender como a tensão nos fios afeta a rotação do cilindro.
- Momentos de Inércia: para calcular a resistência do cilindro à rotação.
Passo 2
Analisando as Forças Verticais:
Quando o cilindro é liberado, ele começa a se mover para baixo devido à gravidade. As duas tensões nos fios atuam para cima. A força da gravidade é
para baixo. Segundo a Segunda Lei de Newton:
Quando o cilindro é liberado, ele começa a se mover para baixo devido à gravidade. As duas tensões
Aqui,
é a aceleração do cilindro para baixo.
Passo 3
Rotação do Cilindro e Torque:
Enquanto o cilindro desce, ele também gira. A tensão nos fios cria um torque que faz o cilindro girar. O torque total causado pelas duas tensões é:
Enquanto o cilindro desce, ele também gira. A tensão nos fios cria um torque que faz o cilindro girar. O torque total
Momento de Inércia:
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
Para um cilindro sólido, o momento de inércia
Usando a relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular
:
E como a aceleração linear
está relacionada à aceleração angular por
, podemos substituir:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo as Equações Simultâneas:
Temos duas equações agora:
Temos duas equações agora:
Substituindo a segunda na primeira:
O valor negativo indica que a aceleração é para baixo. No entanto, isso sugere que o cilindro está acelerando para baixo com o dobro da aceleração da gravidade, o que não faz sentido fisicamente. Isso implica que nossa suposição inicial sobre o relacionamento entre as tensões e o torque pode estar incorreta.
Passo 5
Reavaliando o Torque:
Considerando que ambos os fios estão puxando o cilindro para cima e causando torques opostos (um tentando girar no sentido horário e o outro no sentido anti-horário), o torque total realmente seria zero:
Considerando que ambos os fios estão puxando o cilindro para cima e causando torques opostos (um tentando girar no sentido horário e o outro no sentido anti-horário), o torque total realmente seria zero:
Isso significa que não há aceleração angular (
), e o cilindro não gira enquanto desce.
Passo 6
Reanalisando as Forças Verticais Sem Torque:
Com , a aceleração
. Então, voltando à equação das forças:
Com
Resposta
A tensão em cada fio é
.