Um cilindro de massa e raio é enrolado através de dois fios, cada um preso a uma das extremidades do cilindro, sendo a outra ponta presa ao teto (veja a figura abaixo). O cilindro é inicialmente mantido na horizontal, sendo em seguida abandonado, com os fios permanecendo na direção vertical. Determine a tensão em cada fio, enquanto eles estão se desenrolando.

Passo 1

Resumo do Problema e Conteúdo:
Estamos lidando com um cilindro de massa e raio preso por dois fios ao teto. Inicialmente, o cilindro está na horizontal e é liberado, permitindo que os fios se desenrolem verticalmente. Queremos descobrir qual a tensão em cada fio durante esse desenrolar.
Conteúdos Necessários:
  • Leis de Newton: para analisar as forças atuantes no cilindro.
  • Rotação e Torque: para entender como a tensão nos fios afeta a rotação do cilindro.
  • Momentos de Inércia: para calcular a resistência do cilindro à rotação.

Passo 2

Analisando as Forças Verticais:
Quando o cilindro é liberado, ele começa a se mover para baixo devido à gravidade. As duas tensões nos fios atuam para cima. A força da gravidade é para baixo. Segundo a Segunda Lei de Newton:
Aqui, é a aceleração do cilindro para baixo.

Passo 3

Rotação do Cilindro e Torque:
Enquanto o cilindro desce, ele também gira. A tensão nos fios cria um torque que faz o cilindro girar. O torque total causado pelas duas tensões é:
Momento de Inércia:
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
Usando a relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular :
E como a aceleração linear está relacionada à aceleração angular por , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 4

Resolvendo as Equações Simultâneas:
Temos duas equações agora:
Substituindo a segunda na primeira:
O valor negativo indica que a aceleração é para baixo. No entanto, isso sugere que o cilindro está acelerando para baixo com o dobro da aceleração da gravidade, o que não faz sentido fisicamente. Isso implica que nossa suposição inicial sobre o relacionamento entre as tensões e o torque pode estar incorreta.

Passo 5

Reavaliando o Torque:
Considerando que ambos os fios estão puxando o cilindro para cima e causando torques opostos (um tentando girar no sentido horário e o outro no sentido anti-horário), o torque total realmente seria zero:
Isso significa que não há aceleração angular ( ), e o cilindro não gira enquanto desce.

Passo 6

Reanalisando as Forças Verticais Sem Torque:
Com , a aceleração . Então, voltando à equação das forças:

Resposta

A tensão em cada fio é .

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