Um cilindro de massa m e raio R é enrolado através de dois fios, cada um preso a uma das extremidades do cilindro, sendo a outra ponta presa ao teto (veja a figura abaixo). O cilindro é inicialmente mantido na horizontal, sendo em seguida abandonado, com os fios permanecendo na direção vertical. Determine a tensão em cada fio, enquanto eles estão se desenrolando.

Passo 1

Resumo do Problema e Conteúdo:
Estamos lidando com um cilindro de massa e raio preso por dois fios ao teto. Inicialmente, o cilindro está na horizontal e é liberado, permitindo que os fios se desenrolem verticalmente. Queremos descobrir qual a tensão em cada fio durante esse desenrolar.
Conteúdos Necessários:
  • Leis de Newton: para analisar as forças atuantes no cilindro.
  • Rotação e Torque: para entender como a tensão nos fios afeta a rotação do cilindro.
  • Momentos de Inércia: para calcular a resistência do cilindro à rotação.

Passo 2

Analisando as Forças Verticais:
Quando o cilindro é liberado, ele começa a se mover para baixo devido à gravidade. As duas tensões 2T - mg = ma nos fios atuam para cima. A força da gravidade é para baixo. Segundo a Segunda Lei de Newton:
Aqui, é a aceleração do cilindro para baixo.

Passo 3

Rotação do Cilindro e Torque:
Enquanto o cilindro desce, ele também gira. A tensão nos fios cria um torque que faz o cilindro girar. O torque total tau = 2T cdot R causado pelas duas tensões é:
I = 12mR^2
Momento de Inércia:
Para um cilindro sólido, o momento de inércia tau = Ialpha é:
2T cdot R = 12mR^2 cdot aR
Usando a relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular 2T = 12ma :
T = 14ma
E como a aceleração linear está relacionada à aceleração angular por , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 4

Resolvendo as Equações Simultâneas:
Temos duas equações agora:
  1. 2(14ma) - mg = ma
  2. 12ma - mg = ma
Substituindo a segunda na primeira:
-12ma = mg
a = -2g
O valor negativo indica que a aceleração é para baixo. No entanto, isso sugere que o cilindro está acelerando para baixo com o dobro da aceleração da gravidade, o que não faz sentido fisicamente. Isso implica que nossa suposição inicial sobre o relacionamento entre as tensões e o torque pode estar incorreta.

Passo 5

Reavaliando o Torque:
Considerando que ambos os fios estão puxando o cilindro para cima e causando torques opostos (um tentando girar no sentido horário e o outro no sentido anti-horário), o torque total realmente seria zero:
tau = T cdot R - T cdot R = 0
Isso significa que não há aceleração angular ( ), e o cilindro não gira enquanto desce.

Passo 6

Reanalisando as Forças Verticais Sem Torque:
Com 2T - mg = 0 , a aceleração 2T = mg . Então, voltando à equação das forças:
T = mg2

Resposta

A tensão em cada fio é .

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