Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio R e massa M. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa m corre com velocidade v0 em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância r do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo T. Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine o torque retardador devido ao atrito.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um carrossel, que é basicamente um cilindro com raio e massa , que pode girar em torno do seu eixo vertical. Uma criança com massa corre em direção ao carrossel com velocidade e salta nele, ficando na borda a uma distância do eixo. Quando a criança pula, o carrossel começa a girar, e depois de um tempo , o sistema para por causa do atrito. A gente precisa descobrir qual é o torque que o atrito está aplicando para desacelerar o carrossel.
Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia, momento angular, conservação do momento angular e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do sistema antes e depois da criança pular no carrossel.
O momento de inércia do carrossel (cilindro) em relação ao seu eixo é:
Icarrossel = 12 M R^2
A criança, ao pular no carrossel a uma distância Icriança = m r^2 do eixo, possui um momento de inércia adicional:
Itotal = Icarrossel + Icriança = 12 M R^2 + m r^2 ç
Então, o momento de inércia total do sistema após a criança pular é:
ç

Passo 3

Agora, vamos pensar no momento angular. Antes da criança pular no carrossel, o carrossel está parado, então o momento angular inicial é zero. A criança tem um momento angular devido ao seu movimento linear em direção ao carrossel.
O momento angular ( L = m v0 r ) de um objeto em movimento é dado por:
Aqui, é a velocidade da criança e é a distância do eixo do carrossel.

Passo 4

Quando a criança pula no carrossel, o momento angular total do sistema (carrossel + criança) deve ser igual ao momento angular inicial da criança, já que inicialmente o carrossel estava parado e não havia momento angular.
Então, temos:
Linicial = Lfinal
m v0 r = Itotal omega
Aqui, é a velocidade angular final do sistema.

Passo 5

Vamos resolver para omega = m v0 rItotal = m v0 r12 M R^2 + m r^2 :

Passo 6

Agora, sabemos que o sistema para após um intervalo de tempo tau = De devido ao torque de atrito ( De). O torque está relacionado à variação do momento angular:
tau = -m v0 rT
Como o sistema para, a variação do momento angular é igual ao momento angular final menos o inicial ( tau = m v0 rT ). Mas , então a variação é:
Então:
Como o torque de atrito está atuando no sentido contrário ao movimento, podemos considerar o valor absoluto:

Resposta

O torque retardador devido ao atrito é:
tau = m v0 rT

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