Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo
. Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine o torque retardador devido ao atrito.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um carrossel, que é basicamente um cilindro com raio
e massa
, que pode girar em torno do seu eixo vertical. Uma criança com massa
corre em direção ao carrossel com velocidade
e salta nele, ficando na borda a uma distância
do eixo. Quando a criança pula, o carrossel começa a girar, e depois de um tempo
, o sistema para por causa do atrito. A gente precisa descobrir qual é o torque que o atrito está aplicando para desacelerar o carrossel.
Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia, momento angular, conservação do momento angular e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do sistema antes e depois da criança pular no carrossel.
O momento de inércia do carrossel (cilindro) em relação ao seu eixo é:
A criança, ao pular no carrossel a uma distância
do eixo, possui um momento de inércia adicional:
Então, o momento de inércia total do sistema após a criança pular é:
Passo 3
Agora, vamos pensar no momento angular. Antes da criança pular no carrossel, o carrossel está parado, então o momento angular inicial é zero. A criança tem um momento angular devido ao seu movimento linear em direção ao carrossel.
O momento angular (
) de um objeto em movimento é dado por:
Aqui,
é a velocidade da criança e
é a distância do eixo do carrossel.
Passo 4
Quando a criança pula no carrossel, o momento angular total do sistema (carrossel + criança) deve ser igual ao momento angular inicial da criança, já que inicialmente o carrossel estava parado e não havia momento angular.
Então, temos:
Aqui,
é a velocidade angular final do sistema.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, sabemos que o sistema para após um intervalo de tempo
devido ao torque de atrito (
). O torque está relacionado à variação do momento angular:
Como o sistema para, a variação do momento angular é igual ao momento angular final menos o inicial (
). Mas
, então a variação é:
Então:
Como o torque de atrito está atuando no sentido contrário ao movimento, podemos considerar o valor absoluto:
Resposta
O torque retardador devido ao atrito é: