Duas patinadoras, cada uma com massa igual a m, se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância d0. As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo v. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Qual é a energia cinética do sistema das duas patinadoras?

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre duas patinadoras que estão se aproximando uma da outra e depois passam a girar em torno de uma baliza. O conteúdo que vamos usar aqui é de dinâmica rotacional, especificamente energia cinética rotacional e conservação do momento angular. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o momento angular inicial das patinadoras e como ele se transforma na energia cinética quando elas começam a girar juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no momento angular das patinadoras antes de elas começarem a girar. O momento angular ( L = m times v times r ) é uma medida de quão difícil é parar um objeto em rotação e depende da massa, da velocidade e da distância em relação ao ponto de rotação.
A fórmula do momento angular é:
onde:
  • é a massa,
  • é a velocidade,
  • é a distância perpendicular ao movimento.
Como as patinadoras estão se movendo em trajetórias paralelas e a distância entre elas é , o ponto de rotação será o centro da baliza. Portanto, a distância de cada patinadora ao centro será metade de , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento angular total do sistema antes de as patinadoras se prenderem na baliza. Como elas têm velocidades opostas, mas de mesmo módulo, os momentos angulares se somam.
Então, o momento angular total ( Ltotal = L1 + L2 = m times v times d02 + m times v times d02 = m times v times d0 ) é:

Passo 4

Quando as patinadoras se prendem à baliza e começam a girar juntas, o sistema passa a ter um momento de inércia ( I = m times (d02)^2 ) maior. O momento de inércia para cada patinadora em relação ao centro de rotação é:
Itotal = 2 times m times (d02)^2 = m times d0^22
Como são duas patinadoras, o momento de inércia total ( ) será:

Passo 5

Vamos usar a conservação do momento angular. Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total antes e depois de se prenderem na baliza permanece o mesmo.
Ltotal = Itotal times omega
onde omega = LtotalItotal = m times v times d0m times d0^22 = 2vd0 é a velocidade angular após as patinadoras começarem a girar. Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional ( K = 12 Itotal times omega^2 ) do sistema após as patinadoras começarem a girar:
K = 12 times m times d0^22 times (2vd0)^2 = 12 times m times d0^22 times 4v^2d0^2
Substituindo os valores que encontramos:
K = 12 times m times 4v^22 = m v^21
Simplificando:
K = m v^2

Resposta

A energia cinética do sistema das duas patinadoras é igual a .

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