Duas patinadoras, cada uma com massa igual a
, se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância
. As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo
. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Qual é a energia cinética do sistema das duas patinadoras?
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre duas patinadoras que estão se aproximando uma da outra e depois passam a girar em torno de uma baliza. O conteúdo que vamos usar aqui é de dinâmica rotacional, especificamente energia cinética rotacional e conservação do momento angular. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o momento angular inicial das patinadoras e como ele se transforma na energia cinética quando elas começam a girar juntas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no momento angular das patinadoras antes de elas começarem a girar. O momento angular (
) é uma medida de quão difícil é parar um objeto em rotação e depende da massa, da velocidade e da distância em relação ao ponto de rotação.
A fórmula do momento angular é:
onde:
-
é a massa, -
é a velocidade, -
é a distância perpendicular ao movimento.
Como as patinadoras estão se movendo em trajetórias paralelas e a distância entre elas é
, o ponto de rotação será o centro da baliza. Portanto, a distância
de cada patinadora ao centro será metade de
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento angular total do sistema antes de as patinadoras se prenderem na baliza. Como elas têm velocidades opostas, mas de mesmo módulo, os momentos angulares se somam.
Então, o momento angular total (
) é:
Passo 4
Quando as patinadoras se prendem à baliza e começam a girar juntas, o sistema passa a ter um momento de inércia (
) maior. O momento de inércia para cada patinadora em relação ao centro de rotação é:
Como são duas patinadoras, o momento de inércia total (
) será:
Passo 5
Vamos usar a conservação do momento angular. Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total antes e depois de se prenderem na baliza permanece o mesmo.
onde
é a velocidade angular após as patinadoras começarem a girar. Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional (
) do sistema após as patinadoras começarem a girar:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A energia cinética do sistema das duas patinadoras é igual a
.