Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Enquanto o sistema gira, as crianças se aproximam do centro da barra e permanecem numa distância do centro igual à metade da distância anterior. Qual é a nova velocidade angular em termos de
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas crianças, cada uma com massa
, sentadas nas extremidades de uma barra também com massa
e comprimento
. A barra está pendurada no centro e pode girar livremente. Quando o sistema gira, as crianças se aproximam do centro, reduzindo pela metade a distância de cada uma ao centro. Queremos descobrir qual será a nova velocidade angular,
, em termos da velocidade angular inicial,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre momentos de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema. O momento de inércia (
) depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
A barra tem massa
e comprimento
. O momento de inércia de uma barra em rotação em torno do seu centro é dado por:
As duas crianças, cada uma com massa
, estão nas extremidades da barra, ou seja, a uma distância
do centro. O momento de inércia de cada criança é:
Como são duas crianças, somamos:
Então, o momento de inércia inicial total do sistema é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia final quando as crianças se aproximam do centro, ficando a metade da distância inicial, ou seja, a uma distância
do centro.
O momento de inércia da barra continua o mesmo:
Para as crianças, cada uma agora está a
do centro:
Para as duas crianças:
Então, o momento de inércia final total do sistema é:
Passo 4
Como não há torques externos atuando no sistema, o momento angular é conservado. Ou seja:
Queremos encontrar
, a nova velocidade angular. Vamos isolar
:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A nova velocidade angular é
.