Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Enquanto o sistema gira, as crianças se aproximam do centro da barra e permanecem numa distância do centro igual à metade da distância anterior. Qual é a nova velocidade angular em termos de
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas crianças, cada uma com massa
, sentadas nas extremidades de uma barra também com massa
e comprimento
. A barra está pendurada no centro e pode girar livremente. Quando o sistema gira, as crianças se aproximam do centro, reduzindo pela metade a distância de cada uma ao centro. Queremos descobrir qual será a nova velocidade angular,
, em termos da velocidade angular inicial,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre momentos de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema. O momento de inércia (
) depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
A barra tem massa
e comprimento
. O momento de inércia de uma barra em rotação em torno do seu centro é dado por:
As duas crianças, cada uma com massa
, estão nas extremidades da barra, ou seja, a uma distância
do centro. O momento de inércia de cada criança é:
Como são duas crianças, somamos:
Então, o momento de inércia inicial total do sistema é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia final quando as crianças se aproximam do centro, ficando a metade da distância inicial, ou seja, a uma distância
do centro.
O momento de inércia da barra continua o mesmo:
Para as crianças, cada uma agora está a
do centro:
Para as duas crianças:
Então, o momento de inércia final total do sistema é:
Passo 4
Como não há torques externos atuando no sistema, o momento angular é conservado. Ou seja:
Queremos encontrar
, a nova velocidade angular. Vamos isolar
:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A nova velocidade angular é
.
Exercícios relacionados
Um cilindro de massa
e raio
é enrolado através de dois fios, cada um preso a uma das extremidades do cilindro, sendo a outra ponta presa ao teto (veja a figura abaixo). O cilindro é inicialmente mantido na horizontal, sendo em seguida abandonado, com os fios permanecendo na direção vertical. Determine a tensão em cada fio, enquanto eles estão se desenrolando.
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo
. Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine o torque retardador devido ao atrito.
Duas patinadoras, cada uma com massa igual a
, se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância
. As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo
. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Qual é a energia cinética do sistema das duas patinadoras?
Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela. Qual o momento de inércia do sistema após a geléia ter atingido a hélice?