Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Enquanto o sistema gira, as crianças se aproximam do centro da barra e permanecem numa distância do centro igual à metade da distância anterior. Qual é a nova velocidade angular em termos de ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas crianças, cada uma com massa , sentadas nas extremidades de uma barra também com massa e comprimento . A barra está pendurada no centro e pode girar livremente. Quando o sistema gira, as crianças se aproximam do centro, reduzindo pela metade a distância de cada uma ao centro. Queremos descobrir qual será a nova velocidade angular, , em termos da velocidade angular inicial, .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre momentos de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema. O momento de inércia ( ) depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
A barra tem massa e comprimento . O momento de inércia de uma barra em rotação em torno do seu centro é dado por:
As duas crianças, cada uma com massa , estão nas extremidades da barra, ou seja, a uma distância do centro. O momento de inércia de cada criança é:
ç
Como são duas crianças, somamos:
ç
Então, o momento de inércia inicial total do sistema é:
ç

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia final quando as crianças se aproximam do centro, ficando a metade da distância inicial, ou seja, a uma distância do centro.
O momento de inércia da barra continua o mesmo:
Para as crianças, cada uma agora está a do centro:
ç
Para as duas crianças:
ç
Então, o momento de inércia final total do sistema é:
ç

Passo 4

Como não há torques externos atuando no sistema, o momento angular é conservado. Ou seja:
Queremos encontrar , a nova velocidade angular. Vamos isolar :
Substituindo os valores de e :

Resposta

A nova velocidade angular é .

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