Duas crianças, cada uma com massa M, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento L e massa também M. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Enquanto o sistema gira, as crianças se aproximam do centro da barra e permanecem numa distância do centro igual à metade da distância anterior. Qual é a nova velocidade angular em termos de omega0?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas crianças, cada uma com massa M, sentadas nas extremidades de uma barra também com massa M e comprimento L. A barra está pendurada no centro e pode girar livremente. Quando o sistema gira, as crianças se aproximam do centro, reduzindo pela metade a distância de cada uma ao centro. Queremos descobrir qual será a nova velocidade angular, omega, em termos da velocidade angular inicial, omega0.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre momentos de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema. O momento de inércia ( I) depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
A barra tem massa M e comprimento L. O momento de inércia de uma barra em rotação em torno do seu centro é dado por:
Ibarra = 112 M L^2
As duas crianças, cada uma com massa M, estão nas extremidades da barra, ou seja, a uma distância L/2 do centro. O momento de inércia de cada criança é:
Icriança = M (L2)^2 = M L^24 ç
Como são duas crianças, somamos:
Icrianças total = 2 times M L^24 = M L^22 ç
Então, o momento de inércia inicial total do sistema é:
I0 = Ibarra + Icrianças total = 112 M L^2 + M L^22 = 7 M L^212 ç

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia final quando as crianças se aproximam do centro, ficando a metade da distância inicial, ou seja, a uma distância L/4 do centro.
O momento de inércia da barra continua o mesmo:
Ibarra = 112 M L^2
Para as crianças, cada uma agora está a L/4 do centro:
Icriança = M (L4)^2 = M L^216 ç
Para as duas crianças:
Icrianças total = 2 times M L^216 = M L^28 ç
Então, o momento de inércia final total do sistema é:
If = Ibarra + Icrianças total = 112 M L^2 + M L^28 = 5 M L^224 ç

Passo 4

Como não há torques externos atuando no sistema, o momento angular é conservado. Ou seja:
I0 omega0 = If omega
Queremos encontrar omega, a nova velocidade angular. Vamos isolar omega:
omega = I0If omega0
Substituindo os valores de I0 e If:
omega = 7 M L^2125 M L^224 omega0 = 712 times 245 omega0 = 7 times 25 omega0 = 145 omega0

Resposta

A nova velocidade angular é omega = 145 , omega0.

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