Um cilindro de metal oco tem uma densidade de carga por unidade de comprimento de 2 lambda. Um fio reto e longo, de densidade linear de carga de 1 lambda está posto no centro de cilindro, ambos com o mesmo eixo. Diante dessas informações, determine: b) a densidade de carga na superfície externa do cilindro, e

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão nos dá e o que precisamos encontrar. Temos:
  • Um cilindro de metal oco com densidade de carga por unidade de comprimento igual a .
  • Um fio reto e longo no centro do cilindro, com densidade linear de carga igual a .
  • Ambos compartilham o mesmo eixo.
Nosso objetivo é determinar a densidade de carga na superfície externa do cilindro. Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, especialmente o princípio de que em condutores em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem na superfície externa.

Passo 2

Vamos visualizar a distribuição das cargas. O fio central com carga está dentro do cilindro de metal oco. Como o cilindro é condutor, ele vai reagir à presença da carga interna.
De acordo com a lei de Gauss, o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio é zero. Isso significa que a carga livre no cilindro se redistribui de forma a cancelar o campo elétrico interno.

Passo 3

Para cancelar o campo criado pela carga no fio central, o cilindro precisará ter uma carga induzida igual e oposta na superfície interna. Portanto, a superfície interna do cilindro terá uma densidade de carga de .

Passo 4

A carga total do cilindro é dada como Carga externa = Carga total - Carga interna = 2lambda - (-lambda) = 2lambda + lambda = 3lambda . Já sabemos que na superfície interna há uma carga de . Para que a carga total do cilindro seja , a carga na superfície externa deve compensar isso.
Então, a carga na superfície externa será:

Resposta

A densidade de carga na superfície externa do cilindro é .

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