Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio tem densidade volumétrica de carga nãouniforme . Determine as expressões para o campo elétrico devido a esse cilindro carregado para pontos e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um cilindro não-condutor de comprimento infinito e raio com uma densidade volumétrica de carga que varia com o raio, dada por . Nosso objetivo é encontrar as expressões para o campo elétrico criado por esse cilindro em dois casos diferentes: quando o ponto onde estamos calculando o campo está dentro do cilindro ( ) e quando está fora do cilindro ( ).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para encontrar campos elétricos com alta simetria. Precisamos também lembrar da relação entre a densidade de carga e a carga total.

Passo 2

Vamos começar calculando a carga total dentro de um cilindro gaussiano de raio e comprimento . A densidade de carga é , então a carga em um elemento de volume é:
Para um cilindro, o volume de um elemento radial é:
Portanto, a carga total dentro do cilindro gaussiano é:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
Então, a carga total dentro do cilindro gaussiano fica:

Passo 4

Agora aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Devido à simetria do problema, o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície do cilindro gaussiano. A área total da superfície lateral do cilindro gaussiano é:
Então, a integral se simplifica para:

Passo 5

Substituindo :
Podemos simplificar cancelando de ambos os lados:
Portanto, o campo elétrico é:

Resposta

O campo elétrico devido ao cilindro carregado é:

Exercícios relacionados

Numa espira retangular de lados e circula uma corrente . Determine o campo sobre os pontos do eixo de simetria ortogonal à espira. Dê a resposta em função da distância ao centro da espira (Dica: use a expressão da questão 10 adaptada para este problema).
Seja uma distribuição esférica de cargas em que seja dado por
determine o campo elétrico para pontos e .
Considere uma esfera maciça de raio e carga total . Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo , para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos:
Considere um cilindro condutor oco, de raios interno e externo e , respectivamente, que transporta uma corrente uniformemente distribuída ao longo da sua seção reta. (a) Mostre que, para pontos dentro do condutor, isto é, para , o campo magnético é dado por:
(b) Mostre que para o campo magnético é nulo.