Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio
tem densidade volumétrica de carga nãouniforme
. Determine as expressões para o campo elétrico devido a esse cilindro carregado para pontos
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um cilindro não-condutor de comprimento infinito e raio
com uma densidade volumétrica de carga que varia com o raio, dada por
. Nosso objetivo é encontrar as expressões para o campo elétrico
criado por esse cilindro em dois casos diferentes: quando o ponto onde estamos calculando o campo está dentro do cilindro (
) e quando está fora do cilindro (
).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para encontrar campos elétricos com alta simetria. Precisamos também lembrar da relação entre a densidade de carga e a carga total.
Passo 2
Vamos começar calculando a carga total dentro de um cilindro gaussiano de raio
e comprimento
. A densidade de carga é
, então a carga
em um elemento de volume
é:
Para um cilindro, o volume de um elemento radial
é:
Portanto, a carga total
dentro do cilindro gaussiano é:
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Então, a carga total dentro do cilindro gaussiano fica:
Passo 4
Agora aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Devido à simetria do problema, o campo elétrico
é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície do cilindro gaussiano. A área total da superfície lateral do cilindro gaussiano é:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 5
Substituindo
:
Podemos simplificar cancelando
de ambos os lados:
Portanto, o campo elétrico
é:
Resposta
O campo elétrico devido ao cilindro carregado é: