Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio tem densidade volumétrica de carga nãouniforme . Determine as expressões para o campo elétrico devido a esse cilindro carregado para pontos e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um cilindro não-condutor de comprimento infinito e raio com uma densidade volumétrica de carga que varia com o raio, dada por . Nosso objetivo é encontrar as expressões para o campo elétrico criado por esse cilindro em dois casos diferentes: quando o ponto onde estamos calculando o campo está dentro do cilindro () e quando está fora do cilindro ().
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para encontrar campos elétricos com alta simetria. Precisamos também lembrar da relação entre a densidade de carga e a carga total.
Passo 2
Vamos começar calculando a carga total dentro de um cilindro gaussiano de raio e comprimento . A densidade de carga é , então a carga em um elemento de volume é:
Para um cilindro, o volume de um elemento radial é:
Portanto, a carga total dentro do cilindro gaussiano é:
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Então, a carga total dentro do cilindro gaussiano fica:
Passo 4
Agora aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Devido à simetria do problema, o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície do cilindro gaussiano. A área total da superfície lateral do cilindro gaussiano é: