Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio R tem densidade volumétrica de carga nãouniforme rho(r)=a r. Determine as expressões para o campo elétrico devido a esse cilindro carregado para pontos r e r>R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um cilindro não-condutor de comprimento infinito e raio com uma densidade volumétrica de carga que varia com o raio, dada por . Nosso objetivo é encontrar as expressões para o campo elétrico criado por esse cilindro em dois casos diferentes: quando o ponto onde estamos calculando o campo está dentro do cilindro ( ) e quando está fora do cilindro ( ).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para encontrar campos elétricos com alta simetria. Precisamos também lembrar da relação entre a densidade de carga e a carga total.

Passo 2

Vamos começar calculando a carga total dentro de um cilindro gaussiano de raio dq = rho(r) , dV = a r , dV e comprimento dV = 2pi r L , dr . A densidade de carga é Qenc = integral0^r a r' cdot 2pi r' L , dr' = 2pi a L integral0^r r'^2 , dr' , então a carga em um elemento de volume é:
Para um cilindro, o volume de um elemento radial é:
Portanto, a carga total dentro do cilindro gaussiano é:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral0^r r'^2 , dr' = [ r'^33 ]0^r = r^33
Então, a carga total dentro do cilindro gaussiano fica:
Qenc = 2pi a L cdot r^33 = 2pi a L r^33

Passo 4

Agora aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Devido à simetria do problema, o campo elétrico A = 2pi r L é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície do cilindro gaussiano. A área total da superfície lateral do cilindro gaussiano é:
E cdot 2pi r L = Qencvarepsilon0
Então, a integral se simplifica para:

Passo 5

Substituindo E cdot 2pi r L = 2pi a L r^33varepsilon0 :
E r = a r^33 varepsilon0
Podemos simplificar cancelando E = a r^23 varepsilon0 de ambos os lados:
Portanto, o campo elétrico é:

Resposta

O campo elétrico devido ao cilindro carregado é:
E(r) = a r^23 varepsilon0 r & para r < R 2 a R^33 varepsilon0 r r & para r > R

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