Numa espira retangular de lados a e b circula uma corrente i. Determine o campo B sobre os pontos do eixo de simetria ortogonal à espira. Dê a resposta em função da distância z ao centro da espira (Dica: use a expressão da questão 10 adaptada para este problema).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma espira retangular com lados de comprimentos e onde circula uma corrente . A gente precisa descobrir o campo magnético em pontos que estão ao longo do eixo de simetria que é perpendicular à espira, ou seja, uma linha que passa pelo centro da espira e é perpendicular ao seu plano. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético dB = mu04pi I dl times r|r|^3 devido a um elemento de corrente em um ponto no espaço é dado por:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde queremos calcular o campo, e representa o produto vetorial.

Passo 3

Para uma espira retangular, vamos considerar cada um dos quatro lados separadamente e depois somar o campo resultante de cada lado. Vamos focar em um dos lados de comprimento .

Passo 4

Vamos posicionar a espira de forma que seu centro esteja na origem do sistema de coordenadas, e o eixo seja o eixo de simetria perpendicular à espira. O ponto onde queremos calcular o campo está a uma distância ao longo desse eixo.

Passo 5

Para calcular o campo devido a um lado de comprimento Ba = mu0 i a^24 (a^2 + 4z^2)^3/2 , vamos integrar a expressão da Lei de Biot-Savart ao longo desse lado. Devido à simetria, os componentes horizontais do campo cancelam, e só sobra a componente no eixo .
A contribuição de um lado longo para o campo no eixo é:

Passo 6

Como a espira é retangular, temos dois lados de comprimento Bb = mu0 i b^24 (b^2 + 4z^2)^3/2 e dois lados de comprimento . Calculamos o campo devido aos lados de comprimento da mesma forma, obtendo:

Passo 7

Agora, somamos as contribuições de todos os quatro lados. Como temos dois lados de cada comprimento, o campo total B = 2Ba + 2Bb = mu0 i a^22 (a^2 + 4z^2)^3/2 + mu0 i b^22 (b^2 + 4z^2)^3/2 no ponto ao longo do eixo é:

Resposta

O campo magnético B = mu0 i a^22 (a^2 + 4z^2)^3/2 + mu0 i b^22 (b^2 + 4z^2)^3/2 no ponto a uma distância do centro da espira, ao longo do eixo de simetria perpendicular à espira retangular, é dado por:

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