Considere um cilindro condutor oco, de raios interno e externo a e b, respectivamente, que transporta uma corrente i uniformemente distribuída ao longo da sua seção reta. (a) Mostre que, para pontos dentro do condutor, isto é, para a, o campo magnético B é dado por:
B=mu0 i2 pi(b^2-a^2) r^2-a^2r
(b) Mostre que para r o campo magnético é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro condutor oco com raios internos e externos a e b. Esse cilindro está transportando uma corrente i distribuída de forma uniforme na sua seção reta. A gente precisa calcular o campo magnético B em dois casos:
  • (a) Para pontos dentro do condutor, ou seja, onde a < r < b.
  • (b) Para pontos dentro da cavidade do cilindro, onde r < a.
Vamos usar a Lei de Ampère para isso, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma trajetória fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético B ao longo de um caminho fechado é igual a mu0 vezes a corrente total Ienc que passa dentro desse caminho:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
No nosso caso, vamos escolher um caminho circular de raio r, concêntrico com o cilindro, porque o problema tem simetria cilíndrica.

Passo 3

Para (a) quando a < r < b, precisamos calcular a corrente que está dentro do raio r. Como a corrente está distribuída uniformemente, podemos encontrar a densidade de corrente por área.
A área total do condutor é a área do anel entre a e b:
Atotal = pi b^2 - pi a^2 = pi (b^2 - a^2)
Então, a densidade de corrente J é:
J = iAtotal = ipi (b^2 - a^2)

Passo 4

Agora, a área do caminho de raio r que está dentro do condutor é a área do círculo de raio r menos a área da cavidade de raio a:
Aenc = pi r^2 - pi a^2 = pi (r^2 - a^2)
Portanto, a corrente encerrada Ienc dentro do raio r é:
Ienc = J times Aenc = ipi (b^2 - a^2) times pi (r^2 - a^2) = i (r^2 - a^2)b^2 - a^2

Passo 5

Aplicando a Lei de Ampère:
oint B cdot dl = B times 2pi r = mu0 Ienc = mu0 i (r^2 - a^2)b^2 - a^2
Aqui, assumimos que B é constante ao longo do caminho e paralelo a dl.

Passo 6

Resolvendo para B:
B times 2pi r = mu0 i (r^2 - a^2)b^2 - a^2
B = mu0 i (r^2 - a^2)2pi r (b^2 - a^2)
Simplificando:
B = mu0 i2 pi(b^2-a^2) r^2-a^2r

Passo 7

Agora, para o item (b), onde r < a, queremos mostrar que o campo magnético B é nulo.
Dentro da cavidade ( r < a), não há corrente passando através do caminho escolhido, porque toda a corrente está distribuída no material do cilindro entre a e b.
Então, a corrente encerrada Ienc = 0.
Aplicando a Lei de Ampère:
oint B cdot dl = mu0 Ienc = 0
Isso implica que B = 0.

Resposta

(a) Para a < r < b, o campo magnético é
B=mu0 i2 pi(b^2-a^2) r^2-a^2r
(b) Para r < a, o campo magnético B é nulo.

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