Considere um cilindro condutor oco, de raios interno e externo
e
, respectivamente, que transporta uma corrente
uniformemente distribuída ao longo da sua seção reta. (a) Mostre que, para pontos dentro do condutor, isto é, para
, o campo magnético
é dado por:
(b) Mostre que para
o campo magnético é nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro condutor oco com raios internos e externos
e
. Esse cilindro está transportando uma corrente
distribuída de forma uniforme na sua seção reta. A gente precisa calcular o campo magnético
em dois casos:
- (a) Para pontos dentro do condutor, ou seja, onde
. - (b) Para pontos dentro da cavidade do cilindro, onde
.
Vamos usar a Lei de Ampère para isso, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma trajetória fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético
ao longo de um caminho fechado é igual a
vezes a corrente total
que passa dentro desse caminho:
No nosso caso, vamos escolher um caminho circular de raio
, concêntrico com o cilindro, porque o problema tem simetria cilíndrica.
Passo 3
Para (a) quando
, precisamos calcular a corrente que está dentro do raio
. Como a corrente está distribuída uniformemente, podemos encontrar a densidade de corrente por área.
A área total do condutor é a área do anel entre
e
:
Então, a densidade de corrente
é:
Passo 4
Agora, a área do caminho de raio
que está dentro do condutor é a área do círculo de raio
menos a área da cavidade de raio
:
Portanto, a corrente encerrada
dentro do raio
é:
Passo 5
Aplicando a Lei de Ampère:
Aqui, assumimos que
é constante ao longo do caminho e paralelo a
.
Passo 6
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, para o item (b), onde
, queremos mostrar que o campo magnético
é nulo.
Dentro da cavidade (
), não há corrente passando através do caminho escolhido, porque toda a corrente está distribuída no material do cilindro entre
e
.
Então, a corrente encerrada
.
Aplicando a Lei de Ampère:
Isso implica que
.
Resposta
(a) Para
, o campo magnético é
(b) Para
, o campo magnético
é nulo.
Exercícios relacionados
Considere uma esfera maciça de raio
e carga total
. Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo
, para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos:
Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio
tem densidade volumétrica de carga nãouniforme
. Determine as expressões para o campo elétrico devido a esse cilindro carregado para pontos
e
.
Um disco de raio
tem densidade superficial uniforme
. Mostre que, a grandes distâncias ao longo do eixo de simetria, o campo elétrico do disco comporta-se aproximadamente como de uma partícula carregada puntual.
Considere um condutor cilíndrico muito longo de raio
que conduz uma corrente elétrica
. Determine o módulo do campo magnético
para distâncias radiais
(dentro) e
(fora) medidas a partir do eixo do cilindro para uma densidade de corrente
: (a)
; (b)
;