Considere um cilindro condutor oco, de raios interno e externo e , respectivamente, que transporta uma corrente uniformemente distribuída ao longo da sua seção reta. (a) Mostre que, para pontos dentro do condutor, isto é, para , o campo magnético é dado por:
(b) Mostre que para o campo magnético é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro condutor oco com raios internos e externos e . Esse cilindro está transportando uma corrente distribuída de forma uniforme na sua seção reta. A gente precisa calcular o campo magnético em dois casos:
  • (a) Para pontos dentro do condutor, ou seja, onde .
  • (b) Para pontos dentro da cavidade do cilindro, onde .
Vamos usar a Lei de Ampère para isso, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma trajetória fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual a vezes a corrente total que passa dentro desse caminho:
No nosso caso, vamos escolher um caminho circular de raio , concêntrico com o cilindro, porque o problema tem simetria cilíndrica.

Passo 3

Para (a) quando , precisamos calcular a corrente que está dentro do raio . Como a corrente está distribuída uniformemente, podemos encontrar a densidade de corrente por área.
A área total do condutor é a área do anel entre e :
Então, a densidade de corrente é:

Passo 4

Agora, a área do caminho de raio que está dentro do condutor é a área do círculo de raio menos a área da cavidade de raio :
Portanto, a corrente encerrada dentro do raio é:

Passo 5

Aplicando a Lei de Ampère:
Aqui, assumimos que é constante ao longo do caminho e paralelo a .

Passo 6

Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, para o item (b), onde , queremos mostrar que o campo magnético é nulo.
Dentro da cavidade ( ), não há corrente passando através do caminho escolhido, porque toda a corrente está distribuída no material do cilindro entre e .
Então, a corrente encerrada .
Aplicando a Lei de Ampère:
Isso implica que .

Resposta

(a) Para , o campo magnético é
(b) Para , o campo magnético é nulo.

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