Considere uma esfera maciça de raio R e carga total Q. Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo z, para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos: rho=A r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo para uma esfera maciça de raio e carga total , onde a densidade de carga é . Vamos precisar usar a lei de Coulomb em forma de integral para resolver isso. Basicamente, vamos dividir a esfera em pequenas partes, calcular a contribuição de cada parte para o potencial e campo elétrico no ponto de interesse, e depois somar tudo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante Q = integralV rho , dV = integral0^R A r cdot 4pi r^2 dr = 4pi A integral0^R r^3 dr na expressão da densidade de carga Q = 4pi A [ r^44 ]0^R = pi A R^4 . Sabe-se que a carga total A = Qpi R^4 é a integral da densidade sobre o volume da esfera:
Integrando:
Então, isolando :

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico E(z) = 14piepsilon0 integral rho , (z - z')[(z - z')^2 + r'^2]^3/2 dV no ponto ao longo do eixo . Usaremos a lei de Coulomb para distribuição contínua de carga:
Aqui, é a coordenada do elemento de carga dentro da esfera, e é a distância radial desse elemento ao eixo .

Passo 4

Devido à simetria da situação, podemos simplificar a expressão. Para pontos ao longo do eixo E(z) = 14piepsilon0 integral0^R A r cdot (z)(z^2 + r^2)^3/2 cdot 2pi r dr , as componentes radiais se cancelam, e só resta a componente ao longo de E(z) = A z2epsilon0 integral0^R r^2(z^2 + r^2)^3/2 dr . Então, o campo elétrico simplifica para:
Simplificando a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^R r^2(z^2 + r^2)^3/2 dr
Fazendo a substituição integral r^2u^3/2 dr = integral u - z^2u^3/2 cdot du2raizu - z^2 , [ -rraizz^2 + r^2 ]0^R = -Rraizz^2 + R^2 + 0 = -Rraizz^2 + R^2 , então:
Após simplificação e integrações apropriadas, obtemos:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão do campo elétrico:
E(z) = A z2epsilon0 ( -Rraizz^2 + R^2 ) = -A z R2epsilon0 raizz^2 + R^2
Mas como E(z) = -Q z R2pi epsilon0 R^4 raizz^2 + R^2 = -Q z2pi epsilon0 R^3 raizz^2 + R^2 , substituímos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o potencial eletrostático V(z) = -integral E(z) dz . A relação entre campo elétrico e potencial é V(z) = integral Q z2pi epsilon0 R^3 raizz^2 + R^2 dz , então:
Substituindo :

Passo 8

Resolvendo a integral:
integral zraizz^2 + R^2 dz = raizz^2 + R^2
Então:
V(z) = Q2pi epsilon0 R^3 raizz^2 + R^2 + C
Determinar a constante de integração C = 0 depende da condição de contorno, geralmente assumimos , então:

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo E(z) = -Q z2pi epsilon0 R^3 raizz^2 + R^2 é dado por:
V(z) = Q2pi epsilon0 R^3 raizz^2 + R^2
E o potencial eletrostático correspondente é:

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