Considere uma esfera maciça de raio
e carga total
. Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo
, para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo
para uma esfera maciça de raio
e carga total
, onde a densidade de carga é
. Vamos precisar usar a lei de Coulomb em forma de integral para resolver isso. Basicamente, vamos dividir a esfera em pequenas partes, calcular a contribuição de cada parte para o potencial e campo elétrico no ponto de interesse, e depois somar tudo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante
na expressão da densidade de carga
. Sabe-se que a carga total
é a integral da densidade sobre o volume da esfera:
Integrando:
Então, isolando
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico
no ponto ao longo do eixo
. Usaremos a lei de Coulomb para distribuição contínua de carga:
Aqui,
é a coordenada do elemento de carga dentro da esfera, e
é a distância radial desse elemento ao eixo
.
Passo 4
Devido à simetria da situação, podemos simplificar a expressão. Para pontos ao longo do eixo
, as componentes radiais se cancelam, e só resta a componente ao longo de
. Então, o campo elétrico simplifica para:
Simplificando a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
,
, então:
Após simplificação e integrações apropriadas, obtemos:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na expressão do campo elétrico:
Mas como
, substituímos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o potencial eletrostático
. A relação entre campo elétrico e potencial é
, então:
Substituindo
:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Então:
Determinar a constante de integração
depende da condição de contorno, geralmente assumimos
, então:
Resposta
O campo elétrico ao longo do eixo
é dado por:
E o potencial eletrostático correspondente é: