Considere uma esfera maciça de raio e carga total . Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo , para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo para uma esfera maciça de raio e carga total , onde a densidade de carga é . Vamos precisar usar a lei de Coulomb em forma de integral para resolver isso. Basicamente, vamos dividir a esfera em pequenas partes, calcular a contribuição de cada parte para o potencial e campo elétrico no ponto de interesse, e depois somar tudo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante na expressão da densidade de carga . Sabe-se que a carga total é a integral da densidade sobre o volume da esfera:
Integrando:
Então, isolando :

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico no ponto ao longo do eixo . Usaremos a lei de Coulomb para distribuição contínua de carga:
Aqui, é a coordenada do elemento de carga dentro da esfera, e é a distância radial desse elemento ao eixo .

Passo 4

Devido à simetria da situação, podemos simplificar a expressão. Para pontos ao longo do eixo , as componentes radiais se cancelam, e só resta a componente ao longo de . Então, o campo elétrico simplifica para:
Simplificando a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , , então:
Após simplificação e integrações apropriadas, obtemos:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão do campo elétrico:
Mas como , substituímos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o potencial eletrostático . A relação entre campo elétrico e potencial é , então:
Substituindo :

Passo 8

Resolvendo a integral:
Então:
Determinar a constante de integração depende da condição de contorno, geralmente assumimos , então:

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo é dado por:
E o potencial eletrostático correspondente é:

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