Seja uma distribuição esférica de cargas em que rho seja dado por
l rho=a r, para 0 <= r <= R rho=0, para r>R
determine o campo elétrico para pontos r <= R e r>R.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma distribuição esférica de cargas onde a densidade de carga, rho, depende da distância ao centro da esfera, r. Especificamente, rho = a r para 0 <= r <= R e rho = 0 para r > R. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico, E, tanto para pontos dentro da esfera ( r <= R) quanto para pontos fora dela ( r > R).
Para resolver isso, precisamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria. Além disso, vamos precisar calcular a carga total dentro de uma certa área usando a densidade de carga fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica, varepsilon0. Matematicamente, isso é expresso como:
oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0
Como estamos lidando com uma distribuição esférica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio r. Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial.

Passo 3

Vamos considerar primeiro o caso onde r <= R (dentro da esfera). Precisamos encontrar a carga total, Qtotal, dentro de um raio r. A densidade de carga é rho = a r, então a carga infinitesimal em um volume infinitesimal dV é:
dQ = rho , dV = a r , dV
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dV = 4pi r^2 dr. Portanto, a carga total dentro de raio r é:
Qtotal = integral0^r a r' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi a integral0^r r'^3 dr'
Calculando a integral:
Qtotal = 4pi a [ r'^44 ]0^r = 4pi a cdot r^44 = pi a r^4

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 = pi a r^4varepsilon0
Resolvendo para E:
E cdot 4pi r^2 = pi a r^4varepsilon0 E = pi a r^44pi r^2 varepsilon0 = a r^24 varepsilon0
Então, para r <= R:
E = a r^24 varepsilon0

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso onde r > R (fora da esfera). Nesse caso, toda a carga está contida dentro do raio R, então a carga total é:
Qtotal = pi a R^4
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = pi a R^4varepsilon0
Resolvendo para E:
E = pi a R^44pi r^2 varepsilon0 = a R^44 r^2 varepsilon0
Então, para r > R:
E = a R^44 varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico é dado por
E = dfraca r^24 varepsilon0 & para r <= R dfraca R^44 varepsilon0 r^2 & para r > R

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