Seja uma distribuição esférica de cargas em que
seja dado por
determine o campo elétrico para pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma distribuição esférica de cargas onde a densidade de carga,
, depende da distância ao centro da esfera,
. Especificamente,
para
e
para
. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico,
, tanto para pontos dentro da esfera (
) quanto para pontos fora dela (
).
Para resolver isso, precisamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria. Além disso, vamos precisar calcular a carga total dentro de uma certa área usando a densidade de carga fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica,
. Matematicamente, isso é expresso como:
Como estamos lidando com uma distribuição esférica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio
. Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial.
Passo 3
Vamos considerar primeiro o caso onde
(dentro da esfera). Precisamos encontrar a carga total,
, dentro de um raio
. A densidade de carga é
, então a carga infinitesimal em um volume infinitesimal
é:
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
. Portanto, a carga total dentro de raio
é:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, para
:
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso onde
(fora da esfera). Nesse caso, toda a carga está contida dentro do raio
, então a carga total é:
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, para
:
Resposta
O campo elétrico é dado por