Seja uma distribuição esférica de cargas em que seja dado por
determine o campo elétrico para pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma distribuição esférica de cargas onde a densidade de carga, , depende da distância ao centro da esfera, . Especificamente, para e para . Nosso objetivo é determinar o campo elétrico, , tanto para pontos dentro da esfera () quanto para pontos fora dela ().
Para resolver isso, precisamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria. Além disso, vamos precisar calcular a carga total dentro de uma certa área usando a densidade de carga fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica, . Matematicamente, isso é expresso como:
Como estamos lidando com uma distribuição esférica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio . Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial.
Passo 3
Vamos considerar primeiro o caso onde (dentro da esfera). Precisamos encontrar a carga total, , dentro de um raio . A densidade de carga é , então a carga infinitesimal em um volume infinitesimal é:
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Portanto, a carga total dentro de raio é:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, para :
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso onde (fora da esfera). Nesse caso, toda a carga está contida dentro do raio , então a carga total é: