Um cilindro não condutor de raio a é carregado e colocado no interior de uma casca cilíndrica não condutora de raio interno 2 a e raio externo 3 a. O cilindro e a casca são carregados com densidade de carga uniforme rho0.
a) Sabendo que o potencial elétrico na posição r=a é V=rho0 a^2varepsilon0, calcule a capacitância na região a <= r <= 2 a

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um cilindro não condutor de raio carregado com uma densidade de carga uniforme . Esse cilindro está dentro de uma casca cilíndrica não condutora com raio interno e raio externo , também carregada com a mesma densidade de carga . A tarefa aqui é calcular a capacitância na região entre e , dado que o potencial elétrico na posição é . Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como campo elétrico, potencial elétrico e capacitância para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa capacitância. Capacitância é uma medida de quanto de carga um sistema pode armazenar por unidade de potencial. Matematicamente, é definida como , onde é a carga e é a diferença de potencial entre os condutores.

Passo 3

Como estamos lidando com cilindros coaxiais, a capacitância para esse sistema específico pode ser calculada usando a fórmula de capacitância por unidade de comprimento para dois cilindros concêntricos:
C' = 2pi varepsilon0ln(ba)
onde:
  • é a capacitância por unidade de comprimento,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o raio do cilindro interno,
  • é o raio do cilindro externo.

Passo 4

No nosso caso, o raio interno C' = 2pi varepsilon0ln(2aa) = 2pi varepsilon0ln(2) é o raio do cilindro não condutor, e o raio é , que é o raio interno da casca. Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 5

Até aqui, calculamos a capacitância por unidade de comprimento. Se o problema não especificar um comprimento, assumimos que a capacitância é por unidade de comprimento. Portanto, a capacitância entre C = 2pi varepsilon0ln(2) e é:

Resposta

A capacitância na região é farads por metro.

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