Um plano maciço condutor infinito de espessura é carregado com densidade de carga uniforme e colocado no interior entre dois planos maciços condutores infinitos descarregados.com espessura cada, onde .
b) Sabendo que o potencial na posição é , calcule a capacitância na região

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano condutor infinito com uma espessura D e uma densidade de carga uniforme σ₀. Esse plano está colocado entre dois outros planos condutores infinitos, também com espessura D, mas que estão descarregados (ou seja, sem carga). Além disso, foi dado que D = 2a.
A pergunta é para calcular a capacitância na região onde a coordenada x está entre a e 3a, sabendo que o potencial na posição r = 5a é V = (ρ₀ a²)/ε₀.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de:
  • Lei de Gauss para campos elétricos.
  • Potencial elétrico gerado por distribuições de carga.
  • Capacitância entre condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a disposição dos planos condutores. Temos três planos:
  1. Plano Central: carregado com densidade de carga σ₀ e espessura D = 2a.
  2. Dois Planos Laterais: ambos descarregados, cada um com espessura D = 2a, posicionados de cada lado do plano central.
Como os planos laterais estão descarregados e o plano central está carregado, a carga no plano central vai induzir cargas nos planos laterais para manter o equilíbrio eletrostático.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico na região entre os planos. Para isso, consideramos superfícies gaussianas apropriadas.
Sabemos que para um plano infinito com densidade de carga σ, o campo elétrico é dado por:
No nosso caso, o plano central tem densidade de carga σ₀, e os planos laterais têm carga induzida para equilibrar o sistema.

Passo 4

Vamos determinar as cargas induzidas nos planos laterais. Como os planos laterais estão descarregados inicialmente, a presença do plano central carregado σ₀ vai induzir uma densidade de carga -σ₀ nos planos laterais próximos ao plano central para neutralizar o campo interno.
Portanto:
  • Plano Lateral Esquerdo: densidade de carga -σ₀
  • Plano Lateral Direito: densidade de carga +σ₀
Isso cria um campo elétrico entre a região a ≤ x ≤ 3a que é uniforme.

Passo 5

Com o campo elétrico E conhecido, podemos relacionar com o potencial V. O potencial entre dois pontos é dado pela integral do campo elétrico:
No nosso caso, como o campo é constante na região considerada, podemos simplificar para:
Onde d é a distância entre os dois pontos onde estamos calculando o potencial.

Passo 6

Sabemos que o potencial na posição r = 5a é dado por:
Vamos usar essa informação para encontrar a relação entre as cargas e a capacitância na região a ≤ x ≤ 3a.

Passo 7

A capacitância C é definida como a relação entre a carga Q e a diferença de potencial V:
Vamos calcular Q e V na região considerada para encontrar C.

Passo 8

Neste sistema, a carga Q na região a ≤ x ≤ 3a está relacionada à densidade de carga σ₀ e à área A dos planos. Como os planos são infinitos, consideramos por unidade de área:
Já a diferença de potencial V já nos foi dada na posição r = 5a.

Passo 9

Substituindo Q e V na fórmula da capacitância:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, para uma região infinita, a capacitância por unidade de área (C’) é mais relevante. Então, dividimos ambos os lados por A:
Portanto, a capacitância na região a ≤ x ≤ 3a é:

Resposta

A capacitância na região a ≤ x ≤ 3a é dada por:
Onde:
  • σ₀ é a densidade de carga,
  • ε₀ é a permissividade do vácuo,
  • A é a área dos planos,
  • ρ₀ é a constante relacionada ao potencial,
  • a é a distância característica.

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a) Sabendo que o potencial elétrico na posição é , calcule a capacitância na região
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b) Sabendo que o potencial elétrico na posição é , calcule a capacitância na região
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R: .
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