Um plano maciço condutor infinito de espessura
é carregado com densidade de carga uniforme
e colocado no interior entre dois planos
maciços condutores infinitos descarregados.com espessura
cada, onde
.
b) Sabendo que o potencial na posição
é
, calcule a capacitância na região
b) Sabendo que o potencial na posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano condutor infinito com uma espessura D e uma densidade de carga uniforme σ₀. Esse plano está colocado entre dois outros planos condutores infinitos, também com espessura D, mas que estão descarregados (ou seja, sem carga). Além disso, foi dado que D = 2a.
A pergunta é para calcular a capacitância na região onde a coordenada x está entre a e 3a, sabendo que o potencial na posição r = 5a é V = (ρ₀ a²)/ε₀.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de:
- Lei de Gauss para campos elétricos.
- Potencial elétrico gerado por distribuições de carga.
- Capacitância entre condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a disposição dos planos condutores. Temos três planos:
- Plano Central: carregado com densidade de carga σ₀ e espessura D = 2a.
- Dois Planos Laterais: ambos descarregados, cada um com espessura D = 2a, posicionados de cada lado do plano central.
Como os planos laterais estão descarregados e o plano central está carregado, a carga no plano central vai induzir cargas nos planos laterais para manter o equilíbrio eletrostático.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico na região entre os planos. Para isso, consideramos superfícies gaussianas apropriadas.
Sabemos que para um plano infinito com densidade de carga σ, o campo elétrico é dado por:
No nosso caso, o plano central tem densidade de carga σ₀, e os planos laterais têm carga induzida para equilibrar o sistema.
Passo 4
Vamos determinar as cargas induzidas nos planos laterais. Como os planos laterais estão descarregados inicialmente, a presença do plano central carregado σ₀ vai induzir uma densidade de carga -σ₀ nos planos laterais próximos ao plano central para neutralizar o campo interno.
Portanto:
- Plano Lateral Esquerdo: densidade de carga -σ₀
- Plano Lateral Direito: densidade de carga +σ₀
Isso cria um campo elétrico entre a região a ≤ x ≤ 3a que é uniforme.
Passo 5
Com o campo elétrico E conhecido, podemos relacionar com o potencial V. O potencial entre dois pontos é dado pela integral do campo elétrico:
No nosso caso, como o campo é constante na região considerada, podemos simplificar para:
Onde d é a distância entre os dois pontos onde estamos calculando o potencial.
Passo 6
Sabemos que o potencial na posição r = 5a é dado por:
Vamos usar essa informação para encontrar a relação entre as cargas e a capacitância na região a ≤ x ≤ 3a.
Passo 7
A capacitância C é definida como a relação entre a carga Q e a diferença de potencial V:
Vamos calcular Q e V na região considerada para encontrar C.
Passo 8
Neste sistema, a carga Q na região a ≤ x ≤ 3a está relacionada à densidade de carga σ₀ e à área A dos planos. Como os planos são infinitos, consideramos por unidade de área:
Já a diferença de potencial V já nos foi dada na posição r = 5a.
Passo 9
Substituindo Q e V na fórmula da capacitância:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, para uma região infinita, a capacitância por unidade de área (C’) é mais relevante. Então, dividimos ambos os lados por A:
Portanto, a capacitância na região a ≤ x ≤ 3a é:
Resposta
A capacitância na região a ≤ x ≤ 3a é dada por:
Onde:
- σ₀ é a densidade de carga,
- ε₀ é a permissividade do vácuo,
- A é a área dos planos,
- ρ₀ é a constante relacionada ao potencial,
- a é a distância característica.
Exercícios relacionados
Um cilindro não condutor de raio
é carregado e colocado no interior de uma casca cilíndrica não condutora de raio interno
e raio externo
. O cilindro e a casca são carregados com densidade de carga uniforme
.
a) Sabendo que o potencial elétrico na posição é
, calcule a capacitância na região
a) Sabendo que o potencial elétrico na posição
Uma esfera maciça não condutora de raio
é carregada com densidade de carga uniforme
e colocada no interior de uma casca esférica condutora descarregada de raio interno
e raio externo
.
b) Sabendo que o potencial elétrico na posição é
, calcule a capacitância na região
b) Sabendo que o potencial elétrico na posição
Uma garrafa térmica contém
de café a
. Um cubo de gelo de
à temperatura de fusão é usado para esfriar o café. De quantos graus o café esfria depois que todo o gelo derrete e o equilíbrio térmico é atingido? Trate o café como se fosse água pura e despreze as trocas de energia com o ambiente.
Obs: Massa específica da água: ; calor específico da água:
; calor latente de fusão da água: 79,7 Cal/g.
R: .
Obs: Massa específica da água:
R:
Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade
dada por:
em que
é uma constante positiva. a) Mostre que a carga total contida na distribuição é igual a
. b) Demonstre que o campo elétrico na região
é idêntico ao campo elétrico produzido por uma carga puntiforme
, situada em
) Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região
. d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de
. e) Encontre o valor de
para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.