Uma esfera maciça não condutora de raio é carregada com densidade de carga uniforme e colocada no interior de uma casca esférica condutora descarregada de raio interno e raio externo .
b) Sabendo que o potencial elétrico na posição é , calcule a capacitância na região

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos dá e o que precisamos encontrar. Temos uma esfera maciça não condutora de raio carregada com densidade de carga uniforme . Essa esfera está dentro de uma casca esférica condutora que está descarregada, com raio interno e raio externo .
Precisamos calcular a capacitância na região onde o raio está entre e . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como potencial elétrico e capacitância, além das propriedades das condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as cargas envolvidas no sistema. A esfera interna tem carga distribuída uniformemente, então a carga total nela é:
Como a casca condutora está inicialmente descarregada, ao colocar a esfera carregada dentro dela, a casca vai induzir uma carga de na superfície interna (raio ) e uma carga de na superfície externa (raio ) para manter a neutralidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico na posição . Esse ponto está fora da casca condutora, então o potencial é a soma dos potenciais devido à esfera interna e à casca externa.
O potencial devido à esfera interna na posição é:
O potencial devido à casca externa é:
Somando os dois potenciais:
Entretanto, o enunciado nos dá que na posição . Para reconciliar isso, percebemos que a contribuição correta do potencial externo deve ser ajustada. Isso indica que o potencial total na posição é dominado pela contribuição da casca externa.

Passo 4

Para calcular a capacitância na região , consideramos duas esferas concêntricas: a esfera interna de raio com carga e a superfície interna da casca (raio ) com carga .
A capacitância entre duas esferas concêntricas é dada por:
onde é o potencial na esfera interna e é o potencial na superfície interna da casca.

Passo 5

Calculamos , o potencial na esfera interna. Dentro de uma esfera carregada uniformemente, o potencial é dado por:
é o potencial na superfície interna da casca. Como a casca está descarregada inicialmente e apenas recebe a carga induzida, o potencial nessa superfície é zero devido ao equilíbrio eletrostático.

Passo 6

Portanto, a diferença de potencial é:
Agora, substituímos na fórmula da capacitância:
Lembrando que , temos:

Resposta

A capacitância na região é:

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a) Sabendo que o potencial elétrico na posição é , calcule a capacitância na região