Um cilindro oco de raio interno
, raio externo
e comprimento
é feito de um material de resistividade
. Uma diferença de potencial
aplicada nos extremos do cilindro produz uma corrente paralela a seu eixo.
d) suponha agora que a ddp é aplicada entre as superficies interna e externa, de modo que a corrente flui radialmente para fora. Calcule a nova resistência do cilindro.
d) suponha agora que a ddp é aplicada entre as superficies interna e externa, de modo que a corrente flui radialmente para fora. Calcule a nova resistência do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco com raio interno
, raio externo
e comprimento
. Esse cilindro é feito de um material com resistividade
. Inicialmente, aplicamos uma diferença de potencial
nos extremos do cilindro, fazendo a corrente fluir ao longo do eixo do cilindro. Agora, na parte d) da questão, a diferença de potencial é aplicada entre as superfícies interna e externa do cilindro, fazendo a corrente fluir radialmente para fora. Nosso objetivo aqui é calcular essa nova resistência do cilindro quando a corrente está fluindo radialmente.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar como calcular a resistência elétrica em diferentes configurações. A resistência
de um material depende da resistividade
, do comprimento do caminho da corrente
e da área através da qual a corrente está fluindo. A fórmula geral é:
No caso original, a corrente flui ao longo do comprimento do cilindro, e a área
é a área da seção transversal do cilindro. Mas agora a corrente está fluindo radialmente, ou seja, do interior para o exterior do cilindro. Isso significa que o “comprimento” do caminho da corrente é a distância radial, e a “área” é a superfície através da qual a corrente passa.
Passo 3
Para a corrente fluir radialmente em um cilindro oco, consideramos um elemento diferencial de espessura
a uma distância
do eixo. A resistência diferencial
desse elemento é dada por:
Aqui,
é a área superficial através da qual a corrente está fluindo a uma distância
.
Passo 4
Para encontrar a resistência total
, integramos
de
até
:
A integral de
é o logaritmo natural, então:
Resposta
A resistência do cilindro quando a corrente flui radialmente para fora é
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, raio externo
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. Uma diferença de potencial
aplicada nos extremos do cilindro produz uma corrente paralela a seu eixo.
b) calcule a densidade de corrente no cilindro quando V é aplicada;
b) calcule a densidade de corrente no cilindro quando V é aplicada;