Um cilindro oco de raio interno ra, raio externo rb e comprimento L é feito de um material de resistividade rho. Uma diferença de potencial V aplicada nos extremos do cilindro produz uma corrente paralela a seu eixo.
d) suponha agora que a ddp é aplicada entre as superficies interna e externa, de modo que a corrente flui radialmente para fora. Calcule a nova resistência do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco com raio interno , raio externo e comprimento . Esse cilindro é feito de um material com resistividade . Inicialmente, aplicamos uma diferença de potencial nos extremos do cilindro, fazendo a corrente fluir ao longo do eixo do cilindro. Agora, na parte d) da questão, a diferença de potencial é aplicada entre as superfícies interna e externa do cilindro, fazendo a corrente fluir radialmente para fora. Nosso objetivo aqui é calcular essa nova resistência do cilindro quando a corrente está fluindo radialmente.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar como calcular a resistência elétrica em diferentes configurações. A resistência R = rho LA de um material depende da resistividade , do comprimento do caminho da corrente e da área através da qual a corrente está fluindo. A fórmula geral é:
No caso original, a corrente flui ao longo do comprimento do cilindro, e a área é a área da seção transversal do cilindro. Mas agora a corrente está fluindo radialmente, ou seja, do interior para o exterior do cilindro. Isso significa que o “comprimento” do caminho da corrente é a distância radial, e a “área” é a superfície através da qual a corrente passa.

Passo 3

Para a corrente fluir radialmente em um cilindro oco, consideramos um elemento diferencial de espessura dR = rho dr2pi r L a uma distância do eixo. A resistência diferencial desse elemento é dada por:
Aqui, é a área superficial através da qual a corrente está fluindo a uma distância .

Passo 4

Para encontrar a resistência total R = integralra^rb rho2pi L r dr , integramos R = rho2pi L ln(rbra) de até :
A integral de é o logaritmo natural, então:

Resposta

A resistência do cilindro quando a corrente flui radialmente para fora é
R = rho2pi L ln(rbra)

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