Um cilindro oco de raio interno ra, raio externo rb e comprimento L é feito de um material de resistividade rho. Uma diferença de potencial V aplicada nos extremos do cilindro produz uma corrente paralela a seu eixo.
c) calcule o campo elétrico no interior do cilindro;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro oco com raios interno e externo , e comprimento . Esse cilindro é feito de um material com resistividade . Quando aplicamos uma diferença de potencial nos extremos do cilindro, gera uma corrente que flui paralelamente ao eixo do cilindro. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico dentro do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de resistividade, campo elétrico e como eles se relacionam em um material condutor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico J = sigma E em um material condutor está relacionado à corrente elétrica pela relação:
onde é a condutividade elétrica do material, que é o inverso da resistividade ( ).

Passo 3

Sabemos que a corrente total I = integral J cdot dA que flui pelo cilindro pode ser relacionada ao campo elétrico. A corrente é dada por:
I = J cdot A
Como o campo elétrico é paralelo ao eixo do cilindro e uniforme, podemos simplificar para:
onde é a área da seção transversal por onde a corrente passa.

Passo 4

A área da seção transversal de um cilindro oco é a área externa menos a área interna, ou seja:
A = pi rb^2 - pi ra^2 = pi (rb^2 - ra^2)

Passo 5

Substituindo I = sigma E cdot pi (rb^2 - ra^2) na equação da corrente, temos:
V = I R
Mas também sabemos que a corrente está relacionada à diferença de potencial e à resistência pelo Ohm:

Passo 6

A resistência R = rho LA = rho Lpi (rb^2 - ra^2) de um cilindro oco é dada por:
V = I rho Lpi (rb^2 - ra^2)
Substituindo na equação de Ohm:

Passo 7

Resolvendo para a corrente I = V pi (rb^2 - ra^2)rho L :

Passo 8

Voltando à equação V pi (rb^2 - ra^2)rho L = sigma E cdot pi (rb^2 - ra^2) e substituindo Vrho L = sigma E :
Observamos que aparece nos dois lados e pode ser cancelado:

Passo 9

Como Vrho L = 1rho E , substituímos:
VL = E
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

O campo elétrico dentro do cilindro é dado por:
E = VL

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