Um cilindro regular muito longo de raio R, está uniformemente carregado, com densidade volumétrica de carga de. (a) Por argumentos de simetria, obtenha a direção e o sentido do campo elétrico E emum ponto P a um distância d do cilíndro. (b) Calcule |E| em um ponto interno ao cilíndro (0 e em um ponto externo ao cilíndro (d>R). © Faça um gráfico de |E| em função de d. q 16, moyses, cap 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro muito longo e carregado uniformemente, e queremos descobrir o campo elétrico nesse cilindro tanto dentro quanto fora dele. Vamos usar a teoria do campo elétrico para distribuições de carga com simetria cilíndrica, aplicando a Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como densidade volumétrica de carga, simetria do problema e a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na direção e no sentido do campo elétrico E em um ponto P a uma distância d do cilindro. Como o cilindro é muito longo e a carga está distribuída uniformemente, o campo elétrico vai sair radialmente para fora do cilindro ou entrar radialmente, dependendo do sinal da carga. Isso acontece por causa da simetria cilíndrica do problema: o campo só pode depender da distância d e apontar na direção radial.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para calcular a magnitude do campo elétrico. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde Qenc é a carga dentro da superfície gaussiana e varepsilon0 é a constante elétrica.

Passo 4

Vamos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio d e comprimento L, coaxial com o cilindro carregado. A área lateral dessa superfície é 2pi d L. Devido à simetria, o campo elétrico E é constante nessa superfície e perpendicular a ela.

Passo 5

Calculando a carga encerrada Qenc, temos que depende se d < R (dentro do cilindro) ou d > R (fora do cilindro).
  • Para 0 < d < R (ponto interno):
    A carga encerrada é a carga dentro do cilindro de raio d:
Qenc = de
  • Para d > R (ponto externo):
    A carga encerrada é a carga total do cilindro de raio R:
Qenc = de

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
  • Para 0 < d < R:
E cdot 2pi d L = de
Simplificando:
E = de
  • Para d > R:
E cdot 2pi d L = de
Simplificando:
E = de

Resposta

O campo elétrico |E| em um ponto a uma distância d do cilindro é dado por:
  • Para 0 < d < R:
|E| = de
  • Para d > R:
|E| = de

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