Um cilindro regular muito longo de raio , está uniformemente carregado, com densidade volumétrica de carga . (a) Por argumentos de simetria, obtenha a direção e o sentido do campo elétrico emum ponto a um distância do cilíndro. (b) Calcule em um ponto interno ao cilíndro e em um ponto externo ao cilíndro . © Faça um gráfico de em função de . q 16, moyses, cap 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro muito longo e carregado uniformemente, e queremos descobrir o campo elétrico nesse cilindro tanto dentro quanto fora dele. Vamos usar a teoria do campo elétrico para distribuições de carga com simetria cilíndrica, aplicando a Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como densidade volumétrica de carga, simetria do problema e a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na direção e no sentido do campo elétrico em um ponto a uma distância do cilindro. Como o cilindro é muito longo e a carga está distribuída uniformemente, o campo elétrico vai sair radialmente para fora do cilindro ou entrar radialmente, dependendo do sinal da carga. Isso acontece por causa da simetria cilíndrica do problema: o campo só pode depender da distância e apontar na direção radial.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para calcular a magnitude do campo elétrico. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga dentro da superfície gaussiana e é a constante elétrica.

Passo 4

Vamos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento , coaxial com o cilindro carregado. A área lateral dessa superfície é . Devido à simetria, o campo elétrico é constante nessa superfície e perpendicular a ela.

Passo 5

Calculando a carga encerrada , temos que depende se (dentro do cilindro) ou (fora do cilindro).
  • Para (ponto interno):
    A carga encerrada é a carga dentro do cilindro de raio :
  • Para (ponto externo):
    A carga encerrada é a carga total do cilindro de raio :

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
  • Para :
Simplificando:
  • Para :
Simplificando:

Resposta

O campo elétrico em um ponto a uma distância do cilindro é dado por:
  • Para :
  • Para :

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