Considere a equação do oscilador harmônico:
onde é uma constante real positiva. Mostre usando séries de potência que a solução geral da equação acima é dada por:
onde A e B são constantes reais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial chamada de oscilador harmônico:
Aqui, é uma constante positiva. A missão é mostrar, usando séries de potência, que a solução geral dessa equação é:
Onde A e B são constantes reais. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com séries de potência e entender como elas se relacionam com funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potência:
Isso significa que a gente está representando a função como uma soma infinita de termos com potências de . Agora, precisamos achar as derivadas dessa série para substituir na equação original.

Passo 3

Calculando a primeira e a segunda derivadas de :
Agora, vamos substituir e na equação do oscilador harmônico.

Passo 4

Substituindo na equação :
Para facilitar, vamos mudar o índice da primeira soma para que os potências de fiquem alinhados:
Substitua , então :

Passo 5

Agora, temos:
Para que essa igualdade seja válida para todo , cada coeficiente de deve ser igual a zero:
Isso nos fornece uma relação de recorrência para os coeficientes em termos de .

Passo 6

Resolvendo a relação de recorrência:
Essa equação nos permite calcular todos os coeficientes a partir dos dois primeiros termos e . Vamos ver como isso funciona.

Passo 7

Calculando os primeiros termos:
Para :
Para :
E assim por diante. Observando o padrão, vemos que os coeficientes de termos pares dependem de e formam os termos do cosseno, enquanto os coeficientes de termos ímpares dependem de e formam os termos do seno.

Passo 8

Reconhecendo as séries de cosseno e seno:
Sabemos que as séries de Taylor para e são:
Comparando com a nossa solução em série, percebemos que se escolhermos e , obtemos exatamente essas séries.

Passo 9

Escrevendo a solução geral:
Com base nas observações anteriores, a solução geral da equação é uma combinação linear das séries de cosseno e seno:
Onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação do oscilador harmônico é:
Onde A e B são constantes reais.

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