Considere a equação do oscilador harmônico:
onde
é uma constante real positiva. Mostre usando séries de potência que a solução geral da equação acima é dada por:
onde A e B são constantes reais.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial chamada de oscilador harmônico:
Aqui,
é uma constante positiva. A missão é mostrar, usando séries de potência, que a solução geral dessa equação é:
Onde A e B são constantes reais. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com séries de potência e entender como elas se relacionam com funções trigonométricas como seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potência:
Isso significa que a gente está representando a função
como uma soma infinita de termos com potências de
. Agora, precisamos achar as derivadas dessa série para substituir na equação original.
Passo 3
Calculando a primeira e a segunda derivadas de
:
Agora, vamos substituir
e
na equação do oscilador harmônico.
Passo 4
Substituindo na equação
:
Para facilitar, vamos mudar o índice da primeira soma para que os potências de
fiquem alinhados:
Substitua
, então
:
Passo 5
Agora, temos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero:
Isso nos fornece uma relação de recorrência para os coeficientes
em termos de
.
Passo 6
Resolvendo a relação de recorrência:
Essa equação nos permite calcular todos os coeficientes
a partir dos dois primeiros termos
e
. Vamos ver como isso funciona.
Passo 7
Calculando os primeiros termos:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observando o padrão, vemos que os coeficientes de termos pares dependem de
e formam os termos do cosseno, enquanto os coeficientes de termos ímpares dependem de
e formam os termos do seno.
Passo 8
Reconhecendo as séries de cosseno e seno:
Sabemos que as séries de Taylor para
e
são:
Comparando com a nossa solução em série, percebemos que se escolhermos
e
, obtemos exatamente essas séries.
Passo 9
Escrevendo a solução geral:
Com base nas observações anteriores, a solução geral da equação é uma combinação linear das séries de cosseno e seno:
Onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação do oscilador harmônico é:
Onde A e B são constantes reais.
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