Considere a equação do oscilador harmônico:
y^prime prime+omega^2 y=0
onde omega é uma constante real positiva. Mostre usando séries de potência que a solução geral da equação acima é dada por:
y(x)=A cos (omega x)+B sin (omega x)
onde A e B são constantes reais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial chamada de oscilador harmônico:
y^prime prime + omega^2 y = 0
Aqui, omega é uma constante positiva. A missão é mostrar, usando séries de potência, que a solução geral dessa equação é:
y(x) = A cos(omega x) + B sin(omega x)
Onde A e B são constantes reais. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com séries de potência e entender como elas se relacionam com funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potência:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Isso significa que a gente está representando a função y(x) como uma soma infinita de termos com potências de x. Agora, precisamos achar as derivadas dessa série para substituir na equação original.

Passo 3

Calculando a primeira e a segunda derivadas de y(x):
y^prime(x) = sumn=1^infty an n x^n-1
y^prime prime(x) = sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2
Agora, vamos substituir y(x) e y^prime prime(x) na equação do oscilador harmônico.

Passo 4

Substituindo na equação y^prime prime + omega^2 y = 0:
sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 + omega^2 sumn=0^infty an x^n = 0
Para facilitar, vamos mudar o índice da primeira soma para que os potências de x fiquem alinhados:
Substitua m = n - 2, então n = m + 2:
summ=0^infty am+2 (m+2)(m+1) x^m + omega^2 summ=0^infty am x^m = 0

Passo 5

Agora, temos:
summ=0^infty [ am+2 (m+2)(m+1) + omega^2 am ] x^m = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo x, cada coeficiente de x^m deve ser igual a zero:
am+2 (m+2)(m+1) + omega^2 am = 0
Isso nos fornece uma relação de recorrência para os coeficientes am+2 em termos de am.

Passo 6

Resolvendo a relação de recorrência:
am+2 = -omega^2 am(m+2)(m+1)
Essa equação nos permite calcular todos os coeficientes an a partir dos dois primeiros termos a0 e a1. Vamos ver como isso funciona.

Passo 7

Calculando os primeiros termos:
Para m=0:
a2 = -omega^2 a02 cdot 1 = -omega^22 a0
Para m=1:
a3 = -omega^2 a13 cdot 2 = -omega^26 a1
E assim por diante. Observando o padrão, vemos que os coeficientes de termos pares dependem de a0 e formam os termos do cosseno, enquanto os coeficientes de termos ímpares dependem de a1 e formam os termos do seno.

Passo 8

Reconhecendo as séries de cosseno e seno:
Sabemos que as séries de Taylor para cos(omega x) e sin(omega x) são:
cos(omega x) = sumn=0^infty (-1)^n (omega x)^2n(2n)!
sin(omega x) = sumn=0^infty (-1)^n (omega x)^2n+1(2n+1)!
Comparando com a nossa solução em série, percebemos que se escolhermos a0 = A e a1 = B, obtemos exatamente essas séries.

Passo 9

Escrevendo a solução geral:
Com base nas observações anteriores, a solução geral da equação é uma combinação linear das séries de cosseno e seno:
y(x) = A cos(omega x) + B sin(omega x)
Onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação do oscilador harmônico é:
y(x) = A cos(omega x) + B sin(omega x)
Onde A e B são constantes reais.

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