Um cilindro sólido, com 100 mm de diâmetro está a gerar calor a uma taxa uniforme de 7 times 106 W / m^3. A condutividade térmica do sólido é de 190 W / m.K e a temperatura da sua superfície é mantida a 100^circ C. Calcular:
(ii) A temperatura à distância de 25 mm do centro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro sólido com diâmetro de 100 mm que está gerando calor de forma uniforme. A gente vai usar conceitos de condução de calor em cilindros com geração interna de calor. Precisamos calcular qual é a temperatura a 25 mm do centro desse cilindro. Para isso, vamos precisar das fórmulas de condução de calor em coordenadas cilíndricas e entender como a geração de calor interna afeta a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Diâmetro do cilindro: 100 mm, então o raio ® é 50 mm ou 0,05 m.
  • Taxa de geração de calor: $ q’’’ = 7 \times 10^6 , W/m^3 $.
  • Condutividade térmica: $ k = 190 , W/(m·K) $.
  • Temperatura na superfície: $ T® = 100,°C $.
  • Queremos saber a temperatura a $ r = 25 , mm $ do centro, ou seja, $ r = 0,025 , m $.

Passo 3

Vamos usar a equação de condução de calor em estado estacionário para um cilindro com geração de calor interna. A equação geral é:
1r ddr ( r dTdr ) + q'''k = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
r
Integrando em relação a $ r $:
ddr ( r dTdr ) + q''' rk = 0
Divide ambos os lados por $ r $:
r

Passo 5

Integramos novamente para encontrar $ T® $:
T(r)

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição: a temperatura deve ser finita no centro do cilindro ($ r = 0 $). Se $ C_1 $ fosse diferente de zero, o termo $ \ln® $ iria para menos infinito quando $ r $ tende a zero. Logo, $ C_1 = 0 $.
Então a equação fica:
C1

Passo 7

Segunda condição: na superfície do cilindro ($ r = R $), a temperatura é $ T® = 100,°C $. Substituindo na equação:
r = R
Vamos calcular isso:
T(R) = 100,°C
Então:
100 = -7 times 10^64 times 190 (0.05)^2 + C2

Passo 8

Agora, temos a equação completa da temperatura:
T(r) = -7 times 10^64 times 190 r^2 + 123.03
Simplificando:
T(r) = -7 times 10^6760 r^2 + 123.03
T(r) = -9210.53 , r^2 + 123.03

Passo 9

Finalmente, substituímos $ r = 0.025 , m $:
r = 0.025 , m
Calculando:
T(0.025) = -9210.53 times (0.025)^2 + 123.03
-9210.53 times 0.000625 = -5.7566

Resposta

A temperatura a 25 mm do centro do cilindro é aproximadamente $ 117,27,°C $.

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