Um cilindro sólido, com 100 mm de diâmetro está a gerar calor a uma taxa uniforme de
. A condutividade térmica do sólido é de
.K e a temperatura da sua superfície é mantida a
. Calcular:
(ii) A temperatura à distância de 25 mm do centro.
(ii) A temperatura à distância de 25 mm do centro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro sólido com diâmetro de 100 mm que está gerando calor de forma uniforme. A gente vai usar conceitos de condução de calor em cilindros com geração interna de calor. Precisamos calcular qual é a temperatura a 25 mm do centro desse cilindro. Para isso, vamos precisar das fórmulas de condução de calor em coordenadas cilíndricas e entender como a geração de calor interna afeta a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Diâmetro do cilindro: 100 mm, então o raio ® é 50 mm ou 0,05 m.
- Taxa de geração de calor: $ q’’’ = 7 \times 10^6 , W/m^3 $.
- Condutividade térmica: $ k = 190 , W/(m·K) $.
- Temperatura na superfície: $ T® = 100,°C $.
- Queremos saber a temperatura a $ r = 25 , mm $ do centro, ou seja, $ r = 0,025 , m $.
Passo 3
Vamos usar a equação de condução de calor em estado estacionário para um cilindro com geração de calor interna. A equação geral é:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
Integrando em relação a $ r $:
Divide ambos os lados por $ r $:
Passo 5
Integramos novamente para encontrar $ T® $:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição: a temperatura deve ser finita no centro do cilindro ($ r = 0 $). Se $ C_1 $ fosse diferente de zero, o termo $ \ln® $ iria para menos infinito quando $ r $ tende a zero. Logo, $ C_1 = 0 $.
Então a equação fica:
Passo 7
Segunda condição: na superfície do cilindro ($ r = R $), a temperatura é $ T® = 100,°C $. Substituindo na equação:
Vamos calcular isso:
Então:
Passo 8
Agora, temos a equação completa da temperatura:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, substituímos $ r = 0.025 , m $:
Calculando:
Resposta
A temperatura a 25 mm do centro do cilindro é aproximadamente $ 117,27,°C $.