Um cilindro sólido de diâmetro
, comprimento
e massa específica
cai pelo efeito da gravidade no interior de um tubo de diâmetro
. A folga,
, é preenchida com um fluido de massa específica
e viscosidade
. Despreze os efeitos do ar acima e abaixo do cilindro. Deduza uma fórmula para a velocidade terminal de queda do cilindro. Aplique a sua fórmula ao caso de um cilindro de aço com
, com um filme de óleo SAE 30 a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido que está caindo dentro de um tubo cheio de um fluido viscoso. A gente quer descobrir qual é a velocidade constante que esse cilindro vai ter ao cair, ou seja, a velocidade terminal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Dinâmica dos Fluidos, especificamente relacionados à viscosidade e às forças que atuam sobre o cilindro durante a queda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas na situação:
-
Força da Gravidade (
): Esta é a força que puxa o cilindro para baixo e é dada por:
ondeé a massa do cilindro e é a aceleração da gravidade. -
Força de Empuxo (
): Como o cilindro está imerso no fluido, há uma força de empuxo que age para cima, dada por:
ondeé a massa específica do fluido e o volume do cilindro. -
Força de Arrasto Viscoso (
): Devido à viscosidade do fluido, há uma resistência ao movimento do cilindro, que depende da velocidade com que ele está caindo.
No estado terminal, a velocidade é constante, então a soma das forças deve ser igual a zero:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas forças:
-
Massa do cilindro (
):
O volume () de um cilindro é dado por:
-
Força da Gravidade (
): -
Força de Empuxo (
):
Passo 4
Agora, precisamos expressar a Força de Arrasto Viscoso (
). Para um cilindro movendo-se em um fluido viscoso dentro de um tubo, podemos usar uma forma adaptada da lei de Stokes. A diferença de diâmetro entre o tubo e o cilindro cria uma folga pela qual o fluido flui, gerando resistência. A força de arrasto pode ser aproximada por:
onde:
-
-
-
-
Passo 5
No estado terminal, temos:
Substituindo as expressões:
Vamos simplificar:
Agora, isolando
:
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os valores fornecidos:
- Diâmetro do cilindro,
- Diâmetro do tubo,
- Comprimento do cilindro,
- Massa específica do fluido (óleo SAE 30 a
): - Viscosidade do óleo SAE 30 a
: - Massa específica do aço,
- Aceleração da gravidade,
Substituindo na fórmula:
Calculando passo a passo:
-
Diferença de densidade:
-
-
Folga:
-
Numerador:
-
Denominador:
-
Velocidade terminal:
Resposta
A velocidade terminal de queda do cilindro é aproximadamente
.