Um cilindro sólido de diâmetro D, comprimento L e massa específica rhos cai pelo efeito da gravidade no interior de um tubo de diâmetro D0. A folga, D0-D ll D, é preenchida com um fluido de massa específica rho e viscosidade mu. Despreze os efeitos do ar acima e abaixo do cilindro. Deduza uma fórmula para a velocidade terminal de queda do cilindro. Aplique a sua fórmula ao caso de um cilindro de aço com D=2 cm, D0=2,04 cm, L =15 cm, com um filme de óleo SAE 30 a 20^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido que está caindo dentro de um tubo cheio de um fluido viscoso. A gente quer descobrir qual é a velocidade constante que esse cilindro vai ter ao cair, ou seja, a velocidade terminal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Dinâmica dos Fluidos, especificamente relacionados à viscosidade e às forças que atuam sobre o cilindro durante a queda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas na situação:
  1. Força da Gravidade ( Fg): Esta é a força que puxa o cilindro para baixo e é dada por:
    Fg = m cdot g
    onde m é a massa do cilindro e g é a aceleração da gravidade.
  2. Força de Empuxo ( Fe): Como o cilindro está imerso no fluido, há uma força de empuxo que age para cima, dada por:
    Fe = rho cdot V cdot g
    onde rho é a massa específica do fluido e V o volume do cilindro.
  3. Força de Arrasto Viscoso ( Fd): Devido à viscosidade do fluido, há uma resistência ao movimento do cilindro, que depende da velocidade com que ele está caindo.
No estado terminal, a velocidade é constante, então a soma das forças deve ser igual a zero:
Fg - Fe - Fd = 0

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas forças:
  1. Massa do cilindro ( m):
    m = rhos cdot V
    O volume ( V) de um cilindro é dado por:
    V = pi D^24 cdot L
  2. Força da Gravidade ( Fg):
    Fg = rhos cdot pi D^24 cdot L cdot g
  3. Força de Empuxo ( Fe):
    Fe = rho cdot pi D^24 cdot L cdot g

Passo 4

Agora, precisamos expressar a Força de Arrasto Viscoso ( Fd). Para um cilindro movendo-se em um fluido viscoso dentro de um tubo, podemos usar uma forma adaptada da lei de Stokes. A diferença de diâmetro entre o tubo e o cilindro cria uma folga pela qual o fluido flui, gerando resistência. A força de arrasto pode ser aproximada por:
Fd = 4 mu L vD0 - D
onde:
- mu é a viscosidade do fluido,
- L é o comprimento do cilindro,
- v é a velocidade terminal,
- D0 - D é a folga entre o tubo e o cilindro.

Passo 5

No estado terminal, temos:
Fg - Fe - Fd = 0
Substituindo as expressões:
rhos cdot pi D^24 cdot L cdot g - rho cdot pi D^24 cdot L cdot g - 4 mu L vD0 - D = 0
Vamos simplificar:
(rhos - rho) cdot pi D^24 cdot L cdot g = 4 mu L vD0 - D
Agora, isolando v:
v = (rhos - rho) cdot pi D^24 cdot g cdot (D0 - D)4 mu
Simplificando ainda mais:
v = (rhos - rho) cdot pi D^2 cdot g cdot (D0 - D)16 mu

Passo 6

Agora, vamos aplicar os valores fornecidos:
  • Diâmetro do cilindro, D = 2 cm = 0,02 m
  • Diâmetro do tubo, D0 = 2,04 cm = 0,0204 m
  • Comprimento do cilindro, L = 15 cm = 0,15 m
  • Massa específica do fluido (óleo SAE 30 a 20^circ C): rho approx 850 kg/m^3
  • Viscosidade do óleo SAE 30 a 20^circ C: mu approx 0,29 Pa·s
  • Massa específica do aço, rhos approx 7850 kg/m^3
  • Aceleração da gravidade, g = 9,81 m/s^2
Substituindo na fórmula:
v = (7850 - 850) cdot pi cdot (0,02)^2 cdot 9,81 cdot (0,0204 - 0,02)16 cdot 0,29
Calculando passo a passo:
  1. Diferença de densidade:
    7850 - 850 = 7000 kg/m^3
  2. (D)^2 = (0,02)^2 = 0,0004 m^2
  3. Folga: 0,0204 - 0,02 = 0,0004 m
  4. Numerador:
    7000 cdot pi cdot 0,0004 cdot 9,81 cdot 0,0004 approx 7000 cdot 3,1416 cdot 0,0004 cdot 9,81 cdot 0,0004 approx 7000 cdot 3,1416 cdot 0,0004 cdot 9,81 cdot 0,0004 approx 7000 cdot 3,1416 cdot 0,0004 cdot 0,003924 approx 7000 cdot 0,004908 approx 34,356
  5. Denominador:
    16 cdot 0,29 = 4,64
  6. Velocidade terminal:
    v = 34,3564,64 approx 7,4 m/s

Resposta

A velocidade terminal de queda do cilindro é aproximadamente 7,4 , m/s.

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