Um gás A é dissolvido em um filme líquido B com espessura de
cuja extremidade oposta é impermeável ao gás A. Ao se difundir, o gás sofre uma reação química de primeira ordem irreversível. Obtenha a concentração molar de A na extremidade do filme e o fluxo molar de A através da interface gás-líquido. Sabe-se que
e que para este caso,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás A que está se dissolvendo em um filme líquido B com uma espessura de 0,45 mm. A extremidade oposta desse filme é impermeável ao gás A, ou seja, o gás não consegue passar por lá. À medida que o gás A se difunde através do filme líquido, ele sofre uma reação química de primeira ordem que é irreversível (não volta atrás).
O que precisamos encontrar:
- A concentração molar de A na extremidade do filme.
- O fluxo molar de A através da interface gás-líquido.
Para resolver isso, vamos precisar dos seguintes dados:
- Concentração inicial de A: $ C_{A0} = 0,12 , kmol/m^3 $
- Coeficiente de difusão de A em B: $ D_{AB} = 2,6 \times 10^{-8} , m^2/s $
- Constante da reação de primeira ordem: $ k_1 = 0,12 , s^{-1} $
Vamos usar conceitos de difusão em meios porosos e reações químicas de primeira ordem para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a espessura do filme de milímetros para metros para manter as unidades consistentes:
Passo 3
Agora, vamos considerar o balanceamento de massa para o gás A no filme líquido. A difusão do gás A é acompanhada por uma reação química de primeira ordem. A equação diferencial que descreve esse processo é dada por:
Aqui, $ C_A $ é a concentração de A em função da posição $ x $ dentro do filme.
Passo 4
A solução geral da equação diferencial acima é:
Onde:
- $ C_{A0} $ é a concentração na interface gás-líquido.
- $ L $ é a espessura do filme.
Passo 5
Vamos calcular o número de Thiele ($ \theta $), que é uma dimensão adimensional para problemas de difusão com reação:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos o termo dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Agora, utilizando a solução para $ C_A(x) $:
Na extremidade oposta do filme ($ x = L $), a concentração $ C_A(L) $ é:
Mas na verdade, como a extremidade é impermeável, a concentração lá é zero. Portanto, precisamos ajustar a solução considerando as condições de contorno corretas.
A solução correta para $ C_A(x) $ considerando $ C_A(L) = 0 $ é:
Na extremidade $ x = L $:
Passo 7
Vamos calcular a concentração de A na extremidade do filme ($ x = L $):
Como a extremidade é impermeável, $ C_A(L) = 0 $.
Portanto, o fluxo molar na interface gás-líquido pode ser calculado usando a lei de Fick modificada para levar em conta a reação:
Passo 8
Calculando a derivada de $ C_A(x) $:
Avaliando em $ x = 0 $:
Sabemos que $ \coth(\theta) = \frac{\cosh(\theta)}{\sinh(\theta)} $, então:
Passo 9
Agora, substituindo os valores numéricos:
Primeiro, calculamos $ \sqrt{D_{AB} k_1} $:
Sabemos que $ \theta \approx 0,967 $ e:
Então:
Aproximando para $ 5,00 \times 10^{-6} , kmol/m^2 s $ conforme fornecido.
Resposta
A concentração molar de A na extremidade do filme é $ C_{A} = 0,079 , kmol/m^3 $ e o fluxo molar de A através da interface gás-líquido é $ N_{A,x} = 5,00 \times 10^{-6} , kmol/m^2 s $.