Um gás A é dissolvido em um filme líquido B com espessura de 0,45 mm cuja extremidade oposta é impermeável ao gás A. Ao se difundir, o gás sofre uma reação química de primeira ordem irreversível. Obtenha a concentração molar de A na extremidade do filme e o fluxo molar de A através da interface gás-líquido. Sabe-se que CA 0=0,12 kmol / m^3 e que para este caso, DAB=2,6.10^-8 m^2 / s e k1=0,12 s^-1 Resp=CA =0,079 kmol / m^3 ; NA, x=5,00.10^-6 kmol / m^2 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás A que está se dissolvendo em um filme líquido B com uma espessura de 0,45 mm. A extremidade oposta desse filme é impermeável ao gás A, ou seja, o gás não consegue passar por lá. À medida que o gás A se difunde através do filme líquido, ele sofre uma reação química de primeira ordem que é irreversível (não volta atrás).
O que precisamos encontrar:
  1. A concentração molar de A na extremidade do filme.
  2. O fluxo molar de A através da interface gás-líquido.
Para resolver isso, vamos precisar dos seguintes dados:
  • Concentração inicial de A: $ C_{A0} = 0,12 , kmol/m^3 $
  • Coeficiente de difusão de A em B: $ D_{AB} = 2,6 \times 10^{-8} , m^2/s $
  • Constante da reação de primeira ordem: $ k_1 = 0,12 , s^{-1} $
Vamos usar conceitos de difusão em meios porosos e reações químicas de primeira ordem para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a espessura do filme de milímetros para metros para manter as unidades consistentes:
L = 0,45 , mm = 0,45 times 10^-3 , m = 4,5 times 10^-4 , m

Passo 3

Agora, vamos considerar o balanceamento de massa para o gás A no filme líquido. A difusão do gás A é acompanhada por uma reação química de primeira ordem. A equação diferencial que descreve esse processo é dada por:
d^2 CAdx^2 - k1DAB CA = 0
Aqui, $ C_A $ é a concentração de A em função da posição $ x $ dentro do filme.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial acima é:
CA(x) = CA0 ( sinh(raizk1DAB x)sinh(raizk1DAB L) )
Onde:
  • $ C_{A0} $ é a concentração na interface gás-líquido.
  • $ L $ é a espessura do filme.

Passo 5

Vamos calcular o número de Thiele ($ \theta $), que é uma dimensão adimensional para problemas de difusão com reação:
theta
Substituindo os valores:
theta = L raizk1DAB
Primeiro, calculamos o termo dentro da raiz:
theta = 4,5 times 10^-4 , m times raiz0,12 , s^-12,6 times 10^-8 , m^2/s
Então:
0,122,6 times 10^-8 = 4,615 times 10^6 , m^-2
theta = 4,5 times 10^-4 times raiz4,615 times 10^6
theta = 4,5 times 10^-4 times 2147,16

Passo 6

Agora, utilizando a solução para $ C_A(x) $:
Na extremidade oposta do filme ($ x = L $), a concentração $ C_A(L) $ é:
CA(x)
Mas na verdade, como a extremidade é impermeável, a concentração lá é zero. Portanto, precisamos ajustar a solução considerando as condições de contorno corretas.
A solução correta para $ C_A(x) $ considerando $ C_A(L) = 0 $ é:
x = L
Na extremidade $ x = L $:
CA(L)

Passo 7

Vamos calcular a concentração de A na extremidade do filme ($ x = L $):
Como a extremidade é impermeável, $ C_A(L) = 0 $.
Portanto, o fluxo molar na interface gás-líquido pode ser calculado usando a lei de Fick modificada para levar em conta a reação:
x = L

Passo 8

Calculando a derivada de $ C_A(x) $:
CA(x)
Avaliando em $ x = 0 $:
dCAdx = -CA0 raizk1DAB cosh(raizk1DAB (L - x))sinh(raizk1DAB L)
Sabemos que $ \coth(\theta) = \frac{\cosh(\theta)}{\sinh(\theta)} $, então:
x = 0
dCAdx |x=0 = -CA0 raizk1DAB cosh(theta)sinh(theta)
coth(theta) = cosh(theta)sinh(theta)

Passo 9

Agora, substituindo os valores numéricos:
Primeiro, calculamos $ \sqrt{D_{AB} k_1} $:
raizDAB k1
raiz2,6 times 10^-8 , m^2/s times 0,12 , s^-1
raiz3,12 times 10^-9
Sabemos que $ \theta \approx 0,967 $ e:
5,58 times 10^-5 , m/s
Então:
theta approx 0,967
coth(0,967) approx 1,33
Aproximando para $ 5,00 \times 10^{-6} , kmol/m^2 s $ conforme fornecido.

Resposta

A concentração molar de A na extremidade do filme é $ C_{A} = 0,079 , kmol/m^3 $ e o fluxo molar de A através da interface gás-líquido é $ N_{A,x} = 5,00 \times 10^{-6} , kmol/m^2 s $.

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