Um cilindro sólido muito longo de raio
possui distribuição uniforme de carga positiva, sendo
a carga por unidade de volume. (b) Qual é
o campo elétrico em um ponto fora do volume do cilindro, em função da carga por unidade de comprimento,
, do cilindro?
o campo elétrico em um ponto fora do volume do cilindro, em função da carga por unidade de comprimento,
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido muito longo com raio
e uma distribuição uniforme de carga positiva. A carga por unidade de volume é
. Na parte (b), precisamos encontrar o campo elétrico (
) em um ponto que está fora do volume do cilindro, usando a carga por unidade de comprimento
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é ótima para situações com simetria como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Como o cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também tenha essa simetria: um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio
e comprimento
, onde
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro e é perpendicular a ela. As extremidades do cilindro gaussiano não contribuem para o fluxo porque o campo elétrico é paralelo a essas superfícies. Então, o fluxo total é:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a carga total
dentro da superfície gaussiana. Como
, toda a carga do cilindro está dentro da nossa superfície. A carga por unidade de comprimento é
, então para um comprimento
, temos:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, isolamos
para encontrar a expressão do campo elétrico:
Resposta
O campo elétrico fora do cilindro é dado por: