Um cilindro sólido muito longo de raio R possui distribuição uniforme de carga positiva, sendo rho a carga por unidade de volume. (b) Qual é
o campo elétrico em um ponto fora do volume do cilindro, em função da carga por unidade de comprimento, lambda, do cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido muito longo com raio e uma distribuição uniforme de carga positiva. A carga por unidade de volume é . Na parte (b), precisamos encontrar o campo elétrico ( ) em um ponto que está fora do volume do cilindro, usando a carga por unidade de comprimento . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é ótima para situações com simetria como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( Phi = oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 ):
Como o cilindro é muito longo e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também tenha essa simetria: um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio e comprimento , onde .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico Phi = E cdot (2pi r L) tem a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro e é perpendicular a ela. As extremidades do cilindro gaussiano não contribuem para o fluxo porque o campo elétrico é paralelo a essas superfícies. Então, o fluxo total é:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a carga total Qdentro = lambda L dentro da superfície gaussiana. Como , toda a carga do cilindro está dentro da nossa superfície. A carga por unidade de comprimento é , então para um comprimento , temos:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi r L) = lambda Lvarepsilon0
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por E cdot 2pi r = lambdavarepsilon0 :

Passo 6

Agora, isolamos E = lambda2pi varepsilon0 r para encontrar a expressão do campo elétrico:

Resposta

O campo elétrico fora do cilindro é dado por:
E = lambda2pi varepsilon0 r

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