Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio
tem uma distribuição de carga não uniforme, mas de simetria cilíndrica. A densidade de carga volumétrica é dada por
, onde
é uma constante positiva com unidades
e
é a distância radial ao longo eixo central do cilindro.
(a) Qual é a carga em uma seção reta do cilindro de comprimento
? Escreva uma expressão para a magnitude do campo elétrico para (b)
e ©
.
(a) Qual é a carga em uma seção reta do cilindro de comprimento
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro sólido não condutor, que é infinitamente longo e tem raio
. A distribuição de carga nesse cilindro não é uniforme, mas tem simetria cilíndrica. A densidade de carga volumétrica é dada por
, onde
é uma constante positiva com unidades de
, e
é a distância radial ao longo do eixo central do cilindro.
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para encontrar a carga total em uma seção reta de comprimento
(parte a) e, depois, determinar a expressão para a magnitude do campo elétrico nas regiões internas (
) e externas (
) do cilindro (partes b e c).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a carga em uma seção reta do cilindro de comprimento
. A carga total
pode ser encontrada integrando a densidade de carga
sobre o volume dessa seção.
Passo 3
A densidade de carga volumétrica é
. Para um cilindro, o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é dado por:
Aqui,
é o elemento de área da base do cilindro,
é o comprimento, e
é a espessura radial.
Passo 4
Agora, vamos integrar
sobre o volume para encontrar a carga total
:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Portanto, a carga em uma seção reta do cilindro de comprimento
é:
Passo 6
Agora, vamos determinar a expressão para a magnitude do campo elétrico usando a Lei de Gauss.
Passo 7
Para
: Estamos dentro do cilindro. De acordo com a Lei de Gauss, o campo elétrico
em uma distância
do eixo central depende apenas da carga dentro de um cilindro gaussiano de raio
.
Passo 8
A carga dentro desse cilindro gaussiano é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico é constante sobre a superfície gaussiana, temos:
Simplificando:
Passo 9
Para
: Estamos fora do cilindro. Toda a carga do cilindro está dentro do cilindro gaussiano. A carga total é
.
Passo 10
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Simplificando:
Resposta
A magnitude do campo elétrico é: