Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio R tem uma distribuição de carga não uniforme, mas de simetria cilíndrica. A densidade de carga volumétrica é dada por rho(r)=c / r, onde c é uma constante positiva com unidades C / m^2 e r é a distância radial ao longo eixo central do cilindro.
(a) Qual é a carga em uma seção reta do cilindro de comprimento L? Escreva uma expressão para a magnitude do campo elétrico para (b) r e © r>R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro sólido não condutor, que é infinitamente longo e tem raio . A distribuição de carga nesse cilindro não é uniforme, mas tem simetria cilíndrica. A densidade de carga volumétrica é dada por , onde é uma constante positiva com unidades de , e é a distância radial ao longo do eixo central do cilindro.
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para encontrar a carga total em uma seção reta de comprimento (parte a) e, depois, determinar a expressão para a magnitude do campo elétrico nas regiões internas ( ) e externas ( ) do cilindro (partes b e c).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a carga em uma seção reta do cilindro de comprimento . A carga total pode ser encontrada integrando a densidade de carga sobre o volume dessa seção.

Passo 3

A densidade de carga volumétrica é dV = 2pi r cdot L cdot dr . Para um cilindro, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Aqui, é o elemento de área da base do cilindro, é o comprimento, e é a espessura radial.

Passo 4

Agora, vamos integrar Q = integral0^R rho(r) cdot dV = integral0^R cr cdot 2pi r L , dr sobre o volume para encontrar a carga total Q = 2pi c L integral0^R dr = 2pi c L cdot R :
Simplificando a expressão:

Passo 5

Portanto, a carga em uma seção reta do cilindro de comprimento Q = 2pi c L R é:

Passo 6

Agora, vamos determinar a expressão para a magnitude do campo elétrico usando a Lei de Gauss.

Passo 7

Para : Estamos dentro do cilindro. De acordo com a Lei de Gauss, o campo elétrico em uma distância do eixo central depende apenas da carga dentro de um cilindro gaussiano de raio .

Passo 8

A carga dentro desse cilindro gaussiano é:
Qinterno = 2pi c L r
Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Como o campo elétrico é constante sobre a superfície gaussiana, temos:
E cdot 2pi r L = 2pi c L rvarepsilon0
Simplificando:
E(r) = cvarepsilon0

Passo 9

Para : Estamos fora do cilindro. Toda a carga do cilindro está dentro do cilindro gaussiano. A carga total é .

Passo 10

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
E cdot 2pi r L = 2pi c L Rvarepsilon0
Simplificando:
E(r) = c Rvarepsilon0 r

Resposta

A magnitude do campo elétrico é:
E(r) = cvarepsilon0, & r < R c Rvarepsilon0 r, & r > R

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