Um cilindro sólido de raio R, massa total M e momento de inércia igual a 1 / 2 M R^2, é liberado, a partir do repouso, de uma altura h, e rola sem deslizar por um plano inclinado, que faz um ângulo theta com a horizontal, como mostra a figura. A aceleração do centro de massa é
(A) (5 / 7) g sin theta
(B) (1 / 2) g sin theta
© (2 / 3) g sin theta
(D) (3 / 5) g sin theta
(E) (4 / 5) g sin theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro sólido rolando sem deslizar por um plano inclinado. A gente precisa encontrar a aceleração do centro de massa desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e cinemática. Vamos precisar entender como o movimento de rotação e o movimento linear estão relacionados quando o objeto está rolando sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças agindo no cilindro. Tem a força da gravidade puxando o cilindro para baixo, que tem componente paralela ao plano inclinado, e a força de atrito que impede o deslizamento. Como o cilindro está rolando sem deslizar, a aceleração linear do centro de massa e a aceleração angular estão relacionadas.

Passo 3

A força que está puxando o cilindro para baixo pelo plano inclinado é M g sin theta, onde M é a massa, g é a aceleração da gravidade, e theta é o ângulo do plano. A força de atrito f está agindo para cima do plano e causa o torque que faz o cilindro girar.

Passo 4

Usando a segunda lei de Newton para o movimento linear, temos:
M a = M g sin theta - f
Aqui, a é a aceleração do centro de massa.

Passo 5

Agora, para o movimento rotacional, usamos a segunda lei de Newton para rotação:
tau = I alpha
Onde tau é o torque, I é o momento de inércia, e alpha é a aceleração angular. O torque aqui é f R, já que a força de atrito está agindo na borda do cilindro com o raio R:
f R = 12 M R^2 alpha

Passo 6

Como o cilindro está rolando sem deslizar, a aceleração linear a e a aceleração angular alpha estão relacionadas pela equação:
a = alpha R
Substituindo alpha na equação do torque:
f R = 12 M R^2 cdot aR
f R = 12 M R a
Simplificando:
f = 12 M a

Passo 7

Agora, vamos substituir f na equação da segunda lei de Newton para o movimento linear:
M a = M g sin theta - 12 M a
Somando 12 M a dos dois lados:
32 M a = M g sin theta
Dividindo ambos os lados por 32 M:
a = 23 g sin theta

Resposta

A aceleração do centro de massa é boxeddfrac23 , g sin theta.

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