Um cilindro sólido de raio
, massa total
e momento de inércia igual a
, é liberado, a partir do repouso, de uma altura
, e rola sem deslizar por um plano inclinado, que faz um ângulo
com a horizontal, como mostra a figura. A aceleração do centro de massa é
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro sólido rolando sem deslizar por um plano inclinado. A gente precisa encontrar a aceleração do centro de massa desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e cinemática. Vamos precisar entender como o movimento de rotação e o movimento linear estão relacionados quando o objeto está rolando sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças agindo no cilindro. Tem a força da gravidade puxando o cilindro para baixo, que tem componente paralela ao plano inclinado, e a força de atrito que impede o deslizamento. Como o cilindro está rolando sem deslizar, a aceleração linear do centro de massa e a aceleração angular estão relacionadas.
Passo 3
A força que está puxando o cilindro para baixo pelo plano inclinado é
, onde
é a massa,
é a aceleração da gravidade, e
é o ângulo do plano. A força de atrito
está agindo para cima do plano e causa o torque que faz o cilindro girar.
Passo 4
Usando a segunda lei de Newton para o movimento linear, temos:
Aqui,
é a aceleração do centro de massa.
Passo 5
Agora, para o movimento rotacional, usamos a segunda lei de Newton para rotação:
Onde
é o torque,
é o momento de inércia, e
é a aceleração angular. O torque aqui é
, já que a força de atrito está agindo na borda do cilindro com o raio
:
Passo 6
Como o cilindro está rolando sem deslizar, a aceleração linear
e a aceleração angular
estão relacionadas pela equação:
Substituindo
na equação do torque:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos substituir
na equação da segunda lei de Newton para o movimento linear:
Somando
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A aceleração do centro de massa é
.