Uma estrela de massa
e raio
gira ao redor de um eixo que passa pelo seu centro com velocidade angular
. Depois que ela colapsa, possui a mesma massa mas um raio muito menor. Qual das afirmações a seguir é verdadeira?
(A) O momento de inércia da estrela diminuiu e o momento angular aumentou
(B) O momento de inércia da estrela diminuiu, assim como sua velocidade angular
© O momento de inércia da estrela permanece constante e seu momento angular aumentou
(D)
momento angular permanece constante mas sua energia cinética de rotação diminuiu
(E) O momento angular permanece constante mas sua energia cinética de rotação aumentou
(A) O momento de inércia da estrela diminuiu e o momento angular aumentou
(B) O momento de inércia da estrela diminuiu, assim como sua velocidade angular
© O momento de inércia da estrela permanece constante e seu momento angular aumentou
(D)
(E) O momento angular permanece constante mas sua energia cinética de rotação aumentou
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos uma estrela com massa $ m $ e raio $ R $ que está girando com uma velocidade angular $ \omega $ ao redor do seu próprio eixo. Quando ela colapsa, ou seja, encolhe bastante, o raio fica muito menor, mas a massa permanece a mesma. A questão quer saber qual dessas afirmações sobre momento de inércia, momento angular e energia cinética de rotação está correta após esse colapso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele mede como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma esfera (como uma estrela), o momento de inércia é dado por:
Então, se o raio $ R $ diminui, o momento de inércia $ I $ também diminui porque está proporcional a $ R^2 $.
Passo 3
Agora, vamos falar do momento angular ($ L $). Esse é o produto do momento de inércia pela velocidade angular:
No caso de nenhum torque externo atuando (que geralmente é o caso em situações como essa), o momento angular é conservado, ou seja, permanece o mesmo antes e depois do colapso:
Passo 4
Como $ I $ diminuiu após o colapso e $ L $ precisa permanecer constante, a velocidade angular $ \omega $ precisa aumentar para compensar:
Isso significa que a estrela vai girar mais rápido depois de encolher.
Passo 5
Agora, vamos analisar a energia cinética de rotação ($ K $):
Substituindo a relação de conservação do momento angular, percebemos que:
Então, se o raio $ R $ diminui, a energia cinética de rotação $ K $ aumenta.
Resposta
A alternativa correta é a (E): O momento angular permanece constante mas sua energia cinética de rotação aumentou.