Um cilindro vertical de altura h e área da base A está em equilíbrio quando parcialmente submerso em dois fluidos imiscíveis, de densidades rho1 e rho2(rho1. A porção inferior do cilindro, de altura h2, está submersa no fluido de densidade rho2, enquanto a porção superior, de altura h1, está submersa no fluido de densidade rho1. O cilindro está em equilíbrio estático, e a densidade do material do cilindro é rhoc. Considerando que o cilindro tem altura total h=0.5 m, área da base A=0.02 m, densidade rhoc=800 kg / m^3, e está imerso em água (rho2=1000 kg / m^3) e óleo (rho1=700 kg / m^3), calcule a altura h2 da porção submersa na água.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equilíbrio de um cilindro parcialmente submerso em dois fluidos diferentes. A matéria envolve conceitos de estática e hidrostática, como a força de empuxo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular as forças atuando no cilindro e equilibrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no cilindro. Temos a força peso do cilindro puxando para baixo e as forças de empuxo dos dois fluidos (água e óleo) empurrando para cima.

Passo 3

A força peso ( Fp = m cdot g ) do cilindro pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a massa do cilindro e é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 4

A massa ( m = rhoc cdot V ) do cilindro é dada por:
V = A cdot h
onde m = rhoc cdot A cdot h é a densidade do cilindro e é o volume. O volume do cilindro é:
Então,

Passo 5

Agora, calculamos a força peso:
Fp = rhoc cdot A cdot h cdot g
Substituindo os valores:
Fp = 800 , kg/m^3 cdot 0,02 , m^2 cdot 0,5 , m cdot 9,81 , m/s^2
Fp = 78,72 , N

Passo 6

As forças de empuxo vêm dos dois fluidos. A força de empuxo em cada fluido é dada por:
Fe = rho cdot g cdot Vsubmerso
Para a água:
Fe1 = rho2 cdot g cdot (A cdot h2)
Para o óleo:
Fe2 = rho1 cdot g cdot (A cdot h1)

Passo 7

Como Fe2 = rho1 cdot g cdot [A cdot (h - h2)] , podemos reescrever . Substituindo:

Passo 8

No equilíbrio, a soma das forças de empuxo é igual à força peso:
Fe1 + Fe2 = Fp
Substituindo as expressões:
rho2 cdot g cdot A cdot h2 + rho1 cdot g cdot A cdot (h - h2) = Fp

Passo 9

Vamos resolver para rho2 cdot h2 + rho1 cdot (h - h2) = FpA cdot g :
rho2 cdot h2 + rho1 cdot h - rho1 cdot h2 = FpA cdot g
(rho2 - rho1) cdot h2 = FpA cdot g - rho1 cdot h
h2 = FpA cdot g - rho1 cdot hrho2 - rho1

Passo 10

Substituindo os valores conhecidos:
h2 = 78,720,02 cdot 9,81 - 700 cdot 0,51000 - 700
Calculando passo a passo:
78,720,02 cdot 9,81 = 78,720,1962 approx 401 , kg/m^2
700 cdot 0,5 = 350
h2 = 401 - 350300 = 51300 = 0,17 , m

Resposta

A altura da porção submersa na água ( ) é aproximadamente 0,17 metros.

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