Um cilindro vertical com 1 m de diâmetro e 2 m de altura é preenchido completamente com gasolina cuia densidade é de . O tanque agora é posto a rotar em torno do seu eixo vertical a uma taxa de 90 rpm, enquanto é acelerado para cima a . Determine a) a diferença entre pressões nos centros das superficies inferior e superior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de física sobre pressão em um cilindro que está girando e sendo acelerado para cima. A gente vai precisar usar conceitos de estática dos fluidos e efeitos da rotação e aceleração na pressão. Então, vamos resolver juntinhos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de 1 metro de diâmetro e 2 metros de altura cheio de gasolina, que tem densidade de . Esse cilindro está girando em torno do seu eixo vertical a 90 rpm (rotações por minuto) e sendo acelerado para cima a . Precisamos encontrar a diferença de pressão entre o centro da superfície inferior e o centro da superfície superior.
Passo 3
Para resolver isso, vamos considerar dois efeitos que influenciam a pressão dentro do líquido:
Aceleração Vertical: A aceleração para cima acrescenta uma força adicional que afeta a pressão no líquido.
Rotação do Cilindro: A rotação pode gerar uma diferença de pressão devido à força centrífuga.
Vamos calcular cada um separadamente e depois somar as contribuições.
Passo 4
Calculando a Pressão devida à Aceleração Vertical
A pressão em um fluido devido à gravidade e à aceleração adicional é dada por:
Onde:
é a densidade da gasolina,
é a aceleração devida à gravidade,
é a aceleração adicional,
é a altura do cilindro.
Vamos calcular:
Passo 5
Calculando a Pressão devida à Rotação
A rotação do cilindro gera uma força centrífuga que também contribui para a pressão no fluido. A pressão devido à rotação é calculada pela fórmula:
Onde:
é a velocidade angular em radianos por segundo,
é o raio do cilindro.
Primeiro, vamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo. Sabemos que:
Então:
O raio do cilindro é metade do diâmetro:
Agora, calculamos a pressão:
Passo 6
Calculando a Diferença Total de Pressão
Agora, somamos as duas contribuições de pressão:
Resposta
A diferença de pressão entre os centros das superfícies inferior e superior é de aproximadamente .