Um cilindro vertical com 1 m de diâmetro e 2 m de altura é preenchido completamente com gasolina cuia densidade é de . O tanque agora é posto a rotar em torno do seu eixo vertical a uma taxa de 90 rpm, enquanto é acelerado para cima a . Determine a) a diferença entre pressões nos centros das superficies inferior e superior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de física sobre pressão em um cilindro que está girando e sendo acelerado para cima. A gente vai precisar usar conceitos de estática dos fluidos e efeitos da rotação e aceleração na pressão. Então, vamos resolver juntinhos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de 1 metro de diâmetro e 2 metros de altura cheio de gasolina, que tem densidade de . Esse cilindro está girando em torno do seu eixo vertical a 90 rpm (rotações por minuto) e sendo acelerado para cima a . Precisamos encontrar a diferença de pressão entre o centro da superfície inferior e o centro da superfície superior.

Passo 3

Para resolver isso, vamos considerar dois efeitos que influenciam a pressão dentro do líquido:
  1. Aceleração Vertical: A aceleração para cima acrescenta uma força adicional que afeta a pressão no líquido.
  2. Rotação do Cilindro: A rotação pode gerar uma diferença de pressão devido à força centrífuga.
Vamos calcular cada um separadamente e depois somar as contribuições.

Passo 4

Calculando a Pressão devida à Aceleração Vertical
A pressão em um fluido devido à gravidade e à aceleração adicional é dada por:
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Onde:
  • é a densidade da gasolina,
  • é a aceleração devida à gravidade,
  • é a aceleração adicional,
  • é a altura do cilindro.
Vamos calcular:
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Passo 5

Calculando a Pressão devida à Rotação
A rotação do cilindro gera uma força centrífuga que também contribui para a pressão no fluido. A pressão devido à rotação é calculada pela fórmula:
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Onde:
  • é a velocidade angular em radianos por segundo,
  • é o raio do cilindro.
Primeiro, vamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo. Sabemos que:
Então:
O raio do cilindro é metade do diâmetro:
Agora, calculamos a pressão:
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Passo 6

Calculando a Diferença Total de Pressão
Agora, somamos as duas contribuições de pressão:
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Resposta

A diferença de pressão entre os centros das superfícies inferior e superior é de aproximadamente .

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