U submersivel Titan tinha uma janeīa circular com de diâmetro. Se o ponto médio da janela estiver a 8 km abaixo da superficie da água, determine a força hidrostática sobre a janela e o centro de pressão. Tome a densidade da água do mar com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma janela circular de um submarino chamado Titan, com diâmetro de 30 cm, que está a 8 km abaixo da superfície da água. Precisamos calcular duas coisas:
  1. Força hidrostática sobre a janela: Isso é a força que a água exerce sobre a janela devido à pressão da água.
  2. Centro de pressão: É o ponto onde essa força hidrostática pode ser considerada como aplicada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática, que estuda forças em fluidos em repouso. Vamos precisar das fórmulas da pressão hidrostática e da força hidrostática, além de entender como encontrar o centro de pressão para uma superfície submersa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da janela circular. O diâmetro é 30 cm, então o raio é metade disso:
A área de um círculo é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a pressão hidrostática na profundidade onde a janela está localizada. A fórmula para pressão hidrostática é:
Onde:
  • é a densidade da água do mar ( )
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a profundidade ( )
Substituindo os valores:

Passo 4

Com a pressão e a área da janela, podemos calcular a força hidrostática usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos determinar o centro de pressão. Para uma superfície plana vertical, o centro de pressão é calculado pela fórmula:
Onde:
  • é a profundidade do centroide da área (no caso de um círculo, é a profundidade até o centro da janela)
  • é o momento de inércia da área em relação ao eixo do centroide
Para um círculo, o momento de inércia em relação ao eixo horizontal passando pelo centro é:
Calculando :
Sabendo que , substituímos na fórmula do centro de pressão:
Podemos arredondar e dizer que o centro de pressão está praticamente a 8000 m de profundidade, já que a segunda parte é muito pequena.

Resposta

A força hidrostática sobre a janela é aproximadamente e o centro de pressão está localizado a cerca de 8000 metros de profundidade.

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