Um cilindro vertical com 1 m de diâmetro e 2 m de altura é preenchido completamente com gasolina cuia densidade é de . O tanque agora é posto a rotar em torno do seu eixo vertical a uma taxa de 90 rpm, enquanto é acelerado para cima a . Determine b) a diferença entre as pressões no centro e na borda da superficie inferior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro vertical com 1 metro de diâmetro e 2 metros de altura, totalmente cheio de gasolina com densidade de . Esse cilindro está girando em torno do seu eixo vertical a 90 rotações por minuto (rpm) e também está sendo acelerado para cima a . O que a gente precisa descobrir aqui é a diferença de pressão entre o centro e a borda da superfície inferior do tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos, considerando a rotação e a aceleração vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo, que é a unidade que usamos na física para angular. Sabemos que:
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos pensar na pressão no fluido. A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio é dada pela soma da pressão atmosférica mais a pressão devido ao peso do fluido e a qualquer aceleração adicional. Aqui, temos duas contribuições: a gravidade e a aceleração vertical para cima.
A pressão devido à gravidade é:
E a pressão devido à aceleração vertical é:
Onde:
é a densidade da gasolina,
é a aceleração da gravidade (),
é a aceleração para cima,
é a altura do fluido.
Passo 4
Além disso, como o tanque está girando, há uma força centrípeta que afeta a pressão no fluido. A pressão devido à rotação varia com a distância do eixo de rotação e é dada por:
Onde é a distância do ponto considerado ao eixo de rotação.
Passo 5
Queremos a diferença de pressão entre a borda () e o centro (). No centro, a pressão devido à rotação é zero, pois . Assim, a diferença de pressão será apenas a pressão na borda devido à rotação.
Então:
Passo 6
Vamos agora substituir os valores que temos:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Calculando passo a passo:
Primeiro, calculamos :
Depois,
Agora, multiplicando tudo:
Resposta
A diferença de pressão entre o centro e a borda da superfície inferior é de aproximadamente .