Um cilindro vertical com 1 m de diâmetro e 2 m de altura é preenchido completamente com gasolina cuia densidade é de 800 kg / m^3. O tanque agora é posto a rotar em torno do seu eixo vertical a uma taxa de 90 rpm, enquanto é acelerado para cima a 5 m / s^2. Determine b) a diferença entre as pressões no centro e na borda da superficie inferior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro vertical com 1 metro de diâmetro e 2 metros de altura, totalmente cheio de gasolina com densidade de . Esse cilindro está girando em torno do seu eixo vertical a 90 rotações por minuto (rpm) e também está sendo acelerado para cima a . O que a gente precisa descobrir aqui é a diferença de pressão entre o centro e a borda da superfície inferior do tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos, considerando a rotação e a aceleração vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo, que é a unidade que usamos na física para angular. Sabemos que:
Angular velocidade omega = 2pi times rpm60
Então, substituindo:
omega = 2pi times 9060 = 3pi , rad/s

Passo 3

Agora, vamos pensar na pressão no fluido. A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio é dada pela soma da pressão atmosférica mais a pressão devido ao peso do fluido e a qualquer aceleração adicional. Aqui, temos duas contribuições: a gravidade e a aceleração vertical para cima.
A pressão devido à gravidade é:
Pgravidade = rho g h
E a pressão devido à aceleração vertical Pace<=ração = rho a h é:
çã
Onde:
  • é a densidade da gasolina,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a aceleração para cima,
  • é a altura do fluido.

Passo 4

Além disso, como o tanque está girando, há uma força centrípeta que afeta a pressão no fluido. A pressão devido à rotação varia com a distância do eixo de rotação e é dada por:
Protação = 12 rho omega^2 r^2 çã
Onde é a distância do ponto considerado ao eixo de rotação.

Passo 5

Queremos a diferença de pressão entre a borda ( De) e o centro ( ). No centro, a pressão devido à rotação é zero, pois . Assim, a diferença de pressão será apenas a pressão na borda devido à rotação.
Então:
çãçã

Passo 6

Vamos agora substituir os valores que temos:
rho = 800 , kg/m^3
omega = 3pi , rad/s
R = 0,5 , m
Substituindo na fórmula:
De

Passo 7

Calculando passo a passo:
Primeiro, calculamos (3pi)^2 = 9pi^2 approx 9 times 9,87 = 88,83 :
De
Depois, 0,5 times 800 = 400
Agora, multiplicando tudo:
400 times 88,83 = 35.532
35.532 times 0,25 = 8.883 , Pa

Resposta

A diferença de pressão entre o centro e a borda da superfície inferior é de aproximadamente .

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