Cilindros coaxiais. Um longo cilindro metálico, de raio , está apoiado sobre um suporte isolante ao longo do eixo de um longo tubo cilíndrico metálico, de raio . A carga positiva por unidade de comprimento no cilindro interno é e existe uma igual quantidade de carga negativa por unidade de comprimento no cilindro externo. (a) Determine o potencial para as regiões (i) ; (ii) ; (iii) . (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada condutor.) Considere para . (b) Mostre que o potencial do cilindro interno em relação ao cilindro externo é dado por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois cilindros metálicos que compartilham o mesmo eixo (coaxiais). Temos um cilindro interno com raio carregado positivamente por unidade de comprimento e um cilindro externo com raio carregado negativamente com a mesma quantidade de carga por unidade de comprimento. A matéria envolve eletrostática, especificamente campos e potenciais elétricos em sistemas cilíndricos. Para resolver, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar para achar o potencial nas três regiões pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico em cada região usando a Lei de Gauss:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Região (i) : Aqui, estamos dentro do cilindro interno. Como a carga está distribuída apenas no cilindro, a carga encerrada . Então, pelo Gauss:
Sem campo elétrico, o potencial é constante nessa região.

Passo 4

Região (ii) : Agora, a superfície gaussiana inclui o cilindro interno. A carga encerrada é , onde é o comprimento do cilindro. Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 5

Região (iii) : Aqui, a superfície gaussiana inclui ambos os cilindros. A carga total é . Então:
Sem campo elétrico, o potencial é constante nessa região.

Passo 6

Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial . Lembrando que:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 7

Para :
Precisamos determinar . Sabemos que para , :
Então:

Passo 8

Para : Como , o potencial é constante e igual ao potencial em :

Passo 9

Para : Aqui, , então o potencial também é constante e igual a :

Passo 10

Para a parte (b), queremos mostrar que o potencial do cilindro interno em relação ao externo é:
Usando os resultados de :
Simplificando:

Resposta

O potencial do cilindro interno em relação ao externo é:

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