Cilindros coaxiais. Um longo cilindro metálico, de raio
, está apoiado sobre um suporte isolante ao longo do eixo de um longo tubo cilíndrico metálico, de raio
. A carga positiva por unidade de comprimento no cilindro interno é
e existe uma igual quantidade de carga negativa por unidade de comprimento no cilindro externo. (a) Determine o potencial
para as regiões (i)
; (ii)
; (iii)
. (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada condutor.) Considere
para
. (b) Mostre que o potencial do cilindro interno em relação ao cilindro externo é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois cilindros metálicos que compartilham o mesmo eixo (coaxiais). Temos um cilindro interno com raio
carregado positivamente por unidade de comprimento
e um cilindro externo com raio
carregado negativamente com a mesma quantidade de carga por unidade de comprimento. A matéria envolve eletrostática, especificamente campos e potenciais elétricos em sistemas cilíndricos. Para resolver, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar para achar o potencial
nas três regiões pedidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico
em cada região usando a Lei de Gauss:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 3
Região (i)
: Aqui, estamos dentro do cilindro interno. Como a carga está distribuída apenas no cilindro, a carga encerrada
. Então, pelo Gauss:
Sem campo elétrico, o potencial
é constante nessa região.
Passo 4
Região (ii)
: Agora, a superfície gaussiana inclui o cilindro interno. A carga encerrada é
, onde
é o comprimento do cilindro. Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Região (iii)
: Aqui, a superfície gaussiana inclui ambos os cilindros. A carga total é
. Então:
Sem campo elétrico, o potencial
é constante nessa região.
Passo 6
Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial
. Lembrando que:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 7
Para
:
Precisamos determinar
. Sabemos que para
,
:
Então:
Passo 8
Para
: Como
, o potencial é constante e igual ao potencial em
:
Passo 9
Para
: Aqui,
, então o potencial também é constante e igual a
:
Passo 10
Para a parte (b), queremos mostrar que o potencial do cilindro interno em relação ao externo é:
Usando os resultados de
:
Simplificando:
Resposta
O potencial do cilindro interno em relação ao externo é:
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.
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e
. Determine o campo elétrico na superfície da casca esférica.