Cilindros coaxiais. Um longo cilindro metálico, de raio a, está apoiado sobre um suporte isolante ao longo do eixo de um longo tubo cilíndrico metálico, de raio b. A carga positiva por unidade de comprimento no cilindro interno é lambda e existe uma igual quantidade de carga negativa por unidade de comprimento no cilindro externo. (a) Determine o potencial V(r) para as regiões (i) r; (ii) a; (iii) r>b. (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada condutor.) Considere V=0 para r=b. (b) Mostre que o potencial do cilindro interno em relação ao cilindro externo é dado por
Va b=lambda2 pi epsilon0 ln (a / b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois cilindros metálicos que compartilham o mesmo eixo (coaxiais). Temos um cilindro interno com raio carregado positivamente por unidade de comprimento e um cilindro externo com raio carregado negativamente com a mesma quantidade de carga por unidade de comprimento. A matéria envolve eletrostática, especificamente campos e potenciais elétricos em sistemas cilíndricos. Para resolver, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar para achar o potencial nas três regiões pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qencepsilon0 em cada região usando a Lei de Gauss:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Região (i) E(r) = 0 : Aqui, estamos dentro do cilindro interno. Como a carga está distribuída apenas no cilindro, a carga encerrada . Então, pelo Gauss:
Sem campo elétrico, o potencial é constante nessa região.

Passo 4

Região (ii) E(r) cdot 2pi r L = lambda Lepsilon0 implies E(r) = lambda2pi epsilon0 r : Agora, a superfície gaussiana inclui o cilindro interno. A carga encerrada é , onde é o comprimento do cilindro. Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 5

Região (iii) E(r) = 0 : Aqui, a superfície gaussiana inclui ambos os cilindros. A carga total é . Então:
Sem campo elétrico, o potencial é constante nessa região.

Passo 6

Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial V(r) = -integral E(r) , dr + C . Lembrando que:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 7

Para V(r) = -integral lambda2pi epsilon0 r , dr + C = -lambda2pi epsilon0 ln r + C :
0 = -lambda2pi epsilon0 ln b + C implies C = lambda2pi epsilon0 ln b
Precisamos determinar V(r) = lambda2pi epsilon0 ln (br) . Sabemos que para , :
Então:

Passo 8

Para V(r) = V(a) = lambda2pi epsilon0 ln (ba) : Como , o potencial é constante e igual ao potencial em :

Passo 9

Para V(r) = 0 : Aqui, , então o potencial também é constante e igual a :

Passo 10

Para a parte (b), queremos mostrar que o potencial do cilindro interno em relação ao externo é:
Vab = lambda2pi epsilon0 ln ( ab )
Usando os resultados de Vab = V(a) - V(b) = lambda2pi epsilon0 ln (ba) - 0 = lambda2pi epsilon0 ln (ba) = lambda2pi epsilon0 ln (ab)^-1 :
Vab = lambda2pi epsilon0 ln ( ab )
Simplificando:

Resposta

O potencial do cilindro interno em relação ao externo é:
Vab = lambda2 pi epsilon0 ln ( ab )

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