Cinco bolas idênticas devem ser acondicionadas em três caixas rotuladas por 1 , 2 e 3. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito, se não se admitirem caixas vazias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre combinatória, que é a área da matemática que estuda de quantas maneiras diferentes podemos organizar ou distribuir objetos. Aqui, temos cinco bolas idênticas e três caixas diferentes (rotuladas 1, 2 e 3), e precisamos descobrir de quantas formas podemos distribuir essas bolas nas caixas, sem deixar nenhuma caixa vazia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “bolas idênticas” e “caixas rotuladas”. Como as bolas são iguais, não importa qual bola vai para qual caixa, apenas a quantidade de bolas em cada caixa é relevante. Já as caixas são diferentes porque são rotuladas, então a distribuição 2-2-1 em caixas 1, 2 e 3 é diferente de 2-1-2, por exemplo.

Passo 3

Para resolver esse tipo de problema, podemos usar o princípio das estrelas e barras. Imagine que as cinco bolas são representadas por estrelas (*) e as separações entre as caixas são representadas por barras (|). Como temos três caixas, precisamos de duas barras para separar as bolas entre elas.

Passo 4

O objetivo é distribuir as cinco estrelas e duas barras em uma linha, onde a ordem das barras determina quantas estrelas estão em cada caixa. No entanto, como nenhuma caixa pode ficar vazia, precisamos garantir que entre cada par de barras tenha pelo menos uma estrela.

Passo 5

Para garantir que nenhuma caixa fique vazia, primeiro colocamos uma estrela em cada caixa. Como são três caixas, colocamos três estrelas. Agora, restam duas estrelas para serem distribuídas livremente entre as três caixas.

Passo 6

Agora, o problema se resume a distribuir essas duas estrelas restantes nas três caixas, podendo colocar mais estrelas em qualquer caixa, inclusive todas em uma só. Usando novamente o princípio das estrelas e barras, temos duas estrelas e duas barras (já que ainda são três caixas).

Passo 7

A quantidade de maneiras de organizar duas estrelas e duas barras é dada pelo número de combinações de 4 elementos tomados 2 a 2:

Resposta

Existem 6 maneiras distintas de distribuir as cinco bolas nas três caixas sem deixar nenhuma caixa vazia.

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