e são eventos em um espaço de probabilidade, tais que .
É possível que ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três eventos , e em um espaço de probabilidade, cada um com probabilidade . A pergunta é: é possível que a interseção dos três eventos seja vazia, ou seja, ? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados a interseções de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de inclusão-exclusão para três eventos. Essa fórmula nos ajuda a relacionar as probabilidades individuais dos eventos com as probabilidades das suas interseções:
Como queremos que , isso significa que a probabilidade dessa interseção é zero, ou seja, .

Passo 3

Substituindo na fórmula de inclusão-exclusão, temos:
Simplificando isso:

Passo 4

Sabemos que a probabilidade total de qualquer evento no espaço de probabilidade não pode exceder 1. Portanto:
Resolvendo para as interseções de pares:

Passo 5

Agora, para que , precisamos que a soma das probabilidades das interseções de pares seja pelo menos . Isso é possível distribuindo essas probabilidades entre as interseções de pares de forma que nenhuma interseção tripla exista. Por exemplo, podemos ter:
Existem várias maneiras de distribuir essas probabilidades que atendem a condição necessária.

Resposta

Sim, é possível que mesmo que .

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e são eventos em um espaço de probabilidade, tais que .
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