e
são eventos em um espaço de probabilidade, tais que
.
É possível que
?
É possível que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três eventos
,
e
em um espaço de probabilidade, cada um com probabilidade
. A pergunta é: é possível que a interseção dos três eventos seja vazia, ou seja,
? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados a interseções de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de inclusão-exclusão para três eventos. Essa fórmula nos ajuda a relacionar as probabilidades individuais dos eventos com as probabilidades das suas interseções:
Como queremos que
, isso significa que a probabilidade dessa interseção é zero, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula de inclusão-exclusão, temos:
Simplificando isso:
Passo 4
Sabemos que a probabilidade total de qualquer evento no espaço de probabilidade não pode exceder 1. Portanto:
Resolvendo para as interseções de pares:
Passo 5
Agora, para que
, precisamos que a soma das probabilidades das interseções de pares seja pelo menos
. Isso é possível distribuindo essas probabilidades entre as interseções de pares de forma que nenhuma interseção tripla exista. Por exemplo, podemos ter:
Existem várias maneiras de distribuir essas probabilidades que atendem a condição necessária.
Resposta
Sim, é possível que
mesmo que
.
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, com
,
?
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