De quantas maneiras diferentes podemos distribuir seis bolas indistinguíveis em três caixas A, B e C exigindo que nenhuma caixa fique vazia?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos seis bolas que são todas iguais (indistinguíveis) e três caixas chamadas A, B e C. Queremos descobrir de quantas maneiras diferentes podemos distribuir essas bolas nas caixas, garantindo que nenhuma caixa fique vazia. Para resolver isso, vamos usar um conceito da combinatória chamado “princípio das estrelas e barras”.
Passo 2
O princípio das estrelas e barras é uma técnica que nos ajuda a calcular de quantas formas podemos distribuir objetos indistinguíveis em diferentes grupos ou caixas. No nosso caso, as “estrelas” representam as bolas e as “barras” separam as diferentes caixas.
Passo 3
Como queremos que nenhuma caixa fique vazia, cada caixa deve receber pelo menos uma bola. Primeiro, vamos garantir isso colocando uma bola em cada caixa. Assim, já usamos 3 bolas, restando 6 - 3 = 3 bolas para distribuir livremente nas três caixas.
Passo 4
Agora, precisamos distribuir essas 3 bolas restantes nas 3 caixas. Usamos a fórmula do princípio das estrelas e barras, que é:
Onde:
-
é o número de bolas restantes (3) -
é o número de caixas (3)
Substituindo os valores:
Resposta
Existem 10 maneiras diferentes de distribuir as seis bolas nas três caixas sem deixar nenhuma vazia.
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