Cinco bolas idênticas devem ser acondicionadas em três caixas rotuladas por 1 , 2 e 3. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito, se admitirem-se caixas vazias.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos 5 bolas que são todas iguais e precisamos colocá-las em 3 caixas diferentes, que estão marcadas como 1, 2 e 3. Além disso, pode acontecer de alguma caixa ficar vazia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, que é a parte da matemática que lida com contagem de maneiras de organizar objetos.
Passo 2
Como as bolas são idênticas, a ordem delas não importa dentro das caixas. Mas as caixas são diferentes porque têm rótulos distintos. Quando queremos distribuir objetos iguais em caixas diferentes e as caixas podem ficar vazias, usamos a fórmula de combinação com repetição. Essa fórmula nos ajuda a calcular de quantas formas podemos fazer essa distribuição.
Passo 3
A fórmula para distribuir
objetos idênticos em
caixas distintas (permitindo caixas vazias) é:
Onde
representa a combinação. Isso basicamente conta todas as maneiras possíveis de separar os objetos nas caixas.
Passo 4
No nosso caso, temos
bolas e
caixas. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Agora, vamos calcular
:
Resposta
Então, existem 21 maneiras distintas de distribuir as 5 bolas nas 3 caixas.
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