Cinco bolas idênticas devem ser acondicionadas em três caixas rotuladas por 1 , 2 e 3. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito, se admitirem-se caixas vazias.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos 5 bolas que são todas iguais e precisamos colocá-las em 3 caixas diferentes, que estão marcadas como 1, 2 e 3. Além disso, pode acontecer de alguma caixa ficar vazia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, que é a parte da matemática que lida com contagem de maneiras de organizar objetos.

Passo 2

Como as bolas são idênticas, a ordem delas não importa dentro das caixas. Mas as caixas são diferentes porque têm rótulos distintos. Quando queremos distribuir objetos iguais em caixas diferentes e as caixas podem ficar vazias, usamos a fórmula de combinação com repetição. Essa fórmula nos ajuda a calcular de quantas formas podemos fazer essa distribuição.

Passo 3

A fórmula para distribuir objetos idênticos em caixas distintas (permitindo caixas vazias) é:
Onde representa a combinação. Isso basicamente conta todas as maneiras possíveis de separar os objetos nas caixas.

Passo 4

No nosso caso, temos bolas e caixas. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Agora, vamos calcular :

Resposta

Então, existem 21 maneiras distintas de distribuir as 5 bolas nas 3 caixas.

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