Quantas soluções inteiras possui a inequação
, com
?
Passo 1
Beleza, vamos ver o problema: precisamos descobrir quantas tripletas de números inteiros positivos
satisfazem a inequação
. Esse tipo de problema pertence à matéria de combinatória, mais especificamente à contagem de soluções inteiras em desigualdades. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de combinação com repetição.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com números inteiros positivos (
), vamos facilitar a conta fazendo uma transformação. Vamos subtrair 1 de cada variável para que elas possam começar do zero. Assim, definimos:
Com essas novas variáveis, a inequação fica:
Agora, queremos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para
.
Passo 3
Para resolver essa inequação, podemos transformar a desigualdade em uma igualdade adicionando uma variável “supérflua” que representa o espaço restante até 7. Seja
essa nova variável, então:
Agora, estamos procurando o número de soluções inteiras não negativas para essa equação, o que é um problema clássico de combinação com repetição.
Passo 4
A fórmula para encontrar o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma
é dada por:
No nosso caso, temos
e
(as variáveis
), então:
Passo 5
Calculando o valor de
:
Resposta
Existem 120 soluções inteiras que satisfazem a inequação
com
.