Quantas soluções inteiras possui a inequação A + B + C <= 10, com A, B, C > 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos ver o problema: precisamos descobrir quantas tripletas de números inteiros positivos satisfazem a inequação . Esse tipo de problema pertence à matéria de combinatória, mais especificamente à contagem de soluções inteiras em desigualdades. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de combinação com repetição.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com números inteiros positivos ( ), vamos facilitar a conta fazendo uma transformação. Vamos subtrair 1 de cada variável para que elas possam começar do zero. Assim, definimos:
Com essas novas variáveis, a inequação fica:
Agora, queremos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para .

Passo 3

Para resolver essa inequação, podemos transformar a desigualdade em uma igualdade adicionando uma variável “supérflua” que representa o espaço restante até 7. Seja essa nova variável, então:
Agora, estamos procurando o número de soluções inteiras não negativas para essa equação, o que é um problema clássico de combinação com repetição.

Passo 4

A fórmula para encontrar o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma é dada por:
No nosso caso, temos e (as variáveis ), então:

Passo 5

Calculando o valor de :

Resposta

Existem 120 soluções inteiras que satisfazem a inequação com .

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