Uma urna contém cinco moedas, das quais quatro são honestas e uma tem duas caras. Uma moeda é escolhida ao acaso e arremessada duas vezes. Qual a probabilidade de se observarem duas caras?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo: temos uma urna com cinco moedas, das quais quatro são honestas (com uma cara e uma coroa) e uma tem duas caras. Vamos escolher uma moeda aleatoriamente e jogá-la duas vezes. Queremos descobrir qual é a probabilidade de obtermos duas caras.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema da Probabilidade Total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas possibilidades de moedas que podemos escolher:
  • Moedas honestas: 4 moedas
  • Moeda com duas caras: 1 moeda
A probabilidade de escolher uma moeda honesta é:
E a probabilidade de escolher a moeda com duas caras é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter duas caras em cada caso:
  1. Se escolhermos uma moeda honesta:
    • A probabilidade de dar cara em um lançamento é .
    • Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de dar duas caras é:
  1. Se escolhermos a moeda com duas caras:
    • Sempre dará cara em qualquer lançamento, então a probabilidade de dar duas caras é:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Probabilidade Total para achar a probabilidade de obter duas caras:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A probabilidade de observar duas caras é .

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