Considere o desenvolvimento
. Quantos termos há sem expoentes nulos?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o desenvolvimento da expressão
e precisamos descobrir quantos termos existem nessa expansão sem que nenhum dos expoentes seja zero. Isso envolve conceitos de combinatória e expansão de expressões algébricas.
Passo 2
Quando expandimos
, cada termo resultante tem a forma
, onde
e
,
,
são números inteiros não negativos. Queremos contar apenas os termos onde nenhum dos expoentes é zero, ou seja,
,
,
.
Passo 3
Para encontrar o número de soluções inteiras positivas para a equação
, podemos usar o método de “estrelas e barras” da combinatória. Esse método nos ajuda a distribuir um número de itens (no caso, as 8 “estrelas”) em diferentes categorias (as 3 variáveis
,
,
) garantindo que cada categoria receba pelo menos um item.
Passo 4
A fórmula para calcular isso é a combinação
. Essa expressão representa o número de maneiras de escolher 2 posições para as “barras” entre as 7 possíveis, o que separa as 8 “estrelas” em 3 grupos.
Passo 5
Calculando
, temos:
Resposta
Existem 21 termos no desenvolvimento de
sem expoentes nulos.