Considere o desenvolvimento (a+b+c)^8. Quantos termos há sem expoentes nulos?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o desenvolvimento da expressão e precisamos descobrir quantos termos existem nessa expansão sem que nenhum dos expoentes seja zero. Isso envolve conceitos de combinatória e expansão de expressões algébricas.

Passo 2

Quando expandimos , cada termo resultante tem a forma , onde e i, j, k são números inteiros não negativos. Queremos contar apenas os termos onde nenhum dos expoentes é zero, ou seja, i, j, k ≥ 1.

Passo 3

Para encontrar o número de soluções inteiras positivas para a equação , podemos usar o método de “estrelas e barras” da combinatória. Esse método nos ajuda a distribuir um número de itens (no caso, as 8 “estrelas”) em diferentes categorias (as 3 variáveis a, b, c) garantindo que cada categoria receba pelo menos um item.

Passo 4

A fórmula para calcular isso é a combinação . Essa expressão representa o número de maneiras de escolher 2 posições para as “barras” entre as 7 possíveis, o que separa as 8 “estrelas” em 3 grupos.

Passo 5

Calculando , temos:

Resposta

Existem 21 termos no desenvolvimento de sem expoentes nulos.

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