Considere o desenvolvimento . Quantos termos há sem expoentes nulos?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o desenvolvimento da expressão e precisamos descobrir quantos termos existem nessa expansão sem que nenhum dos expoentes seja zero. Isso envolve conceitos de combinatória e expansão de expressões algébricas.

Passo 2

Quando expandimos , cada termo resultante tem a forma , onde e , , são números inteiros não negativos. Queremos contar apenas os termos onde nenhum dos expoentes é zero, ou seja, , , .

Passo 3

Para encontrar o número de soluções inteiras positivas para a equação , podemos usar o método de “estrelas e barras” da combinatória. Esse método nos ajuda a distribuir um número de itens (no caso, as 8 “estrelas”) em diferentes categorias (as 3 variáveis , , ) garantindo que cada categoria receba pelo menos um item.

Passo 4

A fórmula para calcular isso é a combinação . Essa expressão representa o número de maneiras de escolher 2 posições para as “barras” entre as 7 possíveis, o que separa as 8 “estrelas” em 3 grupos.

Passo 5

Calculando , temos:

Resposta

Existem 21 termos no desenvolvimento de sem expoentes nulos.

Exercícios relacionados

Uma urna contém cinco moedas, das quais quatro são honestas e uma tem duas caras. Uma moeda é escolhida ao acaso e arremessada duas vezes. Qual a probabilidade de se observarem duas caras?
Cinco bolas idênticas devem ser acondicionadas em três caixas rotuladas por 1 , 2 e 3. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito, se admitirem-se caixas vazias.
Considere o desenvolvimento . Qual a soma dos coeficientes de todos os termos?
Um livro para o ensino médio apresenta a seguinte
Se e n é um inteiro positivo, definimos .
Valem as seguintes propriedades: .
e acrescenta: da definição, podemos concluir que . Ou seja, .
Diante da definição e das propriedades apresentadas, essa dedução está correta? Se não, onde está o erro?