Considere o desenvolvimento . Quantos termos há sem expoentes nulos?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o desenvolvimento da expressão e precisamos descobrir quantos termos existem nessa expansão sem que nenhum dos expoentes seja zero. Isso envolve conceitos de combinatória e expansão de expressões algébricas.
Passo 2
Quando expandimos , cada termo resultante tem a forma , onde e , , são números inteiros não negativos. Queremos contar apenas os termos onde nenhum dos expoentes é zero, ou seja, , , .
Passo 3
Para encontrar o número de soluções inteiras positivas para a equação , podemos usar o método de “estrelas e barras” da combinatória. Esse método nos ajuda a distribuir um número de itens (no caso, as 8 “estrelas”) em diferentes categorias (as 3 variáveis , , ) garantindo que cada categoria receba pelo menos um item.
Passo 4
A fórmula para calcular isso é a combinação . Essa expressão representa o número de maneiras de escolher 2 posições para as “barras” entre as 7 possíveis, o que separa as 8 “estrelas” em 3 grupos.
Passo 5
Calculando , temos:
Resposta
Existem 21 termos no desenvolvimento de sem expoentes nulos.