Cinemática. Suponha que a aceleração de uma partícula seja proporcional ao tempo
. Para
, a velocidade da partícula é
. Sabendo-se que ambas, a velocidade e coordenadas de posição são zero quando
, escreva as equações do movimento para a partícula. Resp.:
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma partícula cujo aceleração é proporcional ao tempo
. Isso significa que podemos escrever a aceleração como
, onde
é uma constante que precisamos descobrir. Além disso, sabemos que quando
segundos, a velocidade da partícula é
. Também nos dizem que tanto a velocidade quanto a posição (
) são zero quando
segundos. Para resolver, vamos precisar de conceitos de cálculo, especificamente integração, pois acelerar significa derivada de velocidade, e velocidade é derivada de posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para a aceleração
. Sabemos que
é proporcional a
, então podemos escrever:
Mas olhando a resposta fornecida, percebemos que
. Isso sugere que
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade
integrando a aceleração em relação ao tempo. A relação entre aceleração e velocidade é:
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial fornecida: quando
,
. Substituindo:
Portanto, a expressão para a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo. A relação entre velocidade e posição é:
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é outra constante de integração que precisamos determinar usando a condição fornecida: quando
,
. Substituindo:
Portanto, a expressão para a posição é:
Resposta
As equações do movimento para a partícula são: