Cinemática. Suponha que a aceleração de uma partícula seja proporcional ao tempo . Para , a velocidade da partícula é . Sabendo-se que ambas, a velocidade e coordenadas de posição são zero quando , escreva as equações do movimento para a partícula. Resp.: .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma partícula cujo aceleração é proporcional ao tempo . Isso significa que podemos escrever a aceleração como , onde é uma constante que precisamos descobrir. Além disso, sabemos que quando segundos, a velocidade da partícula é . Também nos dizem que tanto a velocidade quanto a posição ( ) são zero quando segundos. Para resolver, vamos precisar de conceitos de cálculo, especificamente integração, pois acelerar significa derivada de velocidade, e velocidade é derivada de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para a aceleração . Sabemos que é proporcional a , então podemos escrever:
Mas olhando a resposta fornecida, percebemos que . Isso sugere que . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo. A relação entre aceleração e velocidade é:
Integrando ambos os lados:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial fornecida: quando , . Substituindo:
Portanto, a expressão para a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo. A relação entre velocidade e posição é:
Integrando ambos os lados:
Aqui, é outra constante de integração que precisamos determinar usando a condição fornecida: quando , . Substituindo:
Portanto, a expressão para a posição é:

Resposta

As equações do movimento para a partícula são:

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Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário . Resp.:
Determine a equação de uma curva que passa pelo ponto ( ) de tal modo que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja igual a ordenada correspondente deste ponto aumentada de 3. Resp.: .
O corpo de uma vitima de assassinato foi descoberto. O perito da policia chegou à 01:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver que era de . Duas horas mais tarde ele tomou novamente a temperatura que era de . A temperatura do quarto onde se encontrava a vitima era constante a . Use a Lei de resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de . Resp: 00:07h.
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