Cinemática. Suponha que a aceleração de uma partícula seja proporcional ao tempo t. Para t = 0 s, a velocidade da partícula é 9 m/s. Sabendo-se que ambas, a velocidade e coordenadas de posição são zero quando t = 3 s, escreva as equações do movimento para a partícula. Resp.: a(t) = -2t, v(t)=-t^2 + 9, s(t)=-t^3/3 + 9t - 18.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma partícula cujo aceleração é proporcional ao tempo t. Isso significa que podemos escrever a aceleração como , onde k é uma constante que precisamos descobrir. Além disso, sabemos que quando segundos, a velocidade da partícula é . Também nos dizem que tanto a velocidade quanto a posição ( s(t)) são zero quando segundos. Para resolver, vamos precisar de conceitos de cálculo, especificamente integração, pois acelerar significa derivada de velocidade, e velocidade é derivada de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para a aceleração a(t). Sabemos que a(t) é proporcional a t, então podemos escrever:
Mas olhando a resposta fornecida, percebemos que . Isso sugere que . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade v(t) integrando a aceleração em relação ao tempo. A relação entre aceleração e velocidade é:
Integrando ambos os lados:
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial fornecida: quando , . Substituindo:
Portanto, a expressão para a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição s(t) integrando a velocidade em relação ao tempo. A relação entre velocidade e posição é:
Integrando ambos os lados:
Aqui, D é outra constante de integração que precisamos determinar usando a condição fornecida: quando , . Substituindo:
Portanto, a expressão para a posição é:

Resposta

As equações do movimento para a partícula são:

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