O corpo de uma vitima de assassinato foi descoberto. O perito da policia chegou à 01:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver que era de
. Duas horas mais tarde ele tomou novamente a temperatura que era de
. A temperatura do quarto onde se encontrava a vitima era constante a
. Use a Lei de resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de
. Resp: 00:07h.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um caso de assassinato onde precisamos descobrir a hora da morte usando a Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto (ou pessoa, nesse caso) muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. Vamos precisar dessa lei e de algumas contas com fórmulas matemáticas para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é expresso pela equação diferencial:
onde:
-
é a temperatura do objeto, -
é a temperatura ambiente, -
é a constante de proporcionalidade, -
é o tempo.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Agora, integramos os dois lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Resolvendo para
, temos:
onde
é uma nova constante.
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes
e
. Temos duas informações de temperatura em dois momentos diferentes:
- À 01:00h,
. - Duas horas depois (às 03:00h),
.
Vamos considerar o tempo
às 01:00h.
Primeira condição (
):
Segunda condição (
horas):
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando
:
Passo 6
Agora, queremos descobrir o tempo
quando a temperatura do corpo era
(temperatura normal de uma pessoa viva).
Usamos a equação:
Subtraindo 20:
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando
:
Como o tempo negativo indica que a morte ocorreu antes da primeira medição (às 01:00h), convertemos 0,881 horas para minutos:
Então, a hora da morte foi aproximadamente às 00:07h.
Resposta
00:07h.