O corpo de uma vitima de assassinato foi descoberto. O perito da policia chegou à 01:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver que era de 30 graus C. Duas horas mais tarde ele tomou novamente a temperatura que era de 23 graus C. A temperatura do quarto onde se encontrava a vitima era constante a 20 graus Celsius. Use a Lei de resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 37 graus C. Resp: 00:07h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um caso de assassinato onde precisamos descobrir a hora da morte usando a Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto (ou pessoa, nesse caso) muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. Vamos precisar dessa lei e de algumas contas com fórmulas matemáticas para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é expresso pela equação diferencial:
onde:
  • é a temperatura do objeto,
  • é a temperatura ambiente,
  • é a constante de proporcionalidade,
  • é o tempo.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Agora, integramos os dois lados:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Resolvendo para , temos:
onde é uma nova constante.
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar as constantes e . Temos duas informações de temperatura em dois momentos diferentes:
  1. À 01:00h, .
  2. Duas horas depois (às 03:00h), .
Vamos considerar o tempo às 01:00h.
Primeira condição ( ):
Segunda condição ( horas):
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando :

Passo 6

Agora, queremos descobrir o tempo quando a temperatura do corpo era (temperatura normal de uma pessoa viva).
Usamos a equação:
Subtraindo 20:
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando :
Como o tempo negativo indica que a morte ocorreu antes da primeira medição (às 01:00h), convertemos 0,881 horas para minutos:
Então, a hora da morte foi aproximadamente às 00:07h.

Resposta

00:07h.

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