O corpo de uma vitima de assassinato foi descoberto. O perito da policia chegou à 01:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver que era de
. Duas horas mais tarde ele tomou novamente a temperatura que era de
. A temperatura do quarto onde se encontrava a vitima era constante a
. Use a Lei de resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de
. Resp: 00:07h.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um caso de assassinato onde precisamos descobrir a hora da morte usando a Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto (ou pessoa, nesse caso) muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. Vamos precisar dessa lei e de algumas contas com fórmulas matemáticas para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é expresso pela equação diferencial:
onde:
-
é a temperatura do objeto, -
é a temperatura ambiente, -
é a constante de proporcionalidade, -
é o tempo.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Agora, integramos os dois lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Resolvendo para
, temos:
onde
é uma nova constante.
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes
e
. Temos duas informações de temperatura em dois momentos diferentes:
- À 01:00h,
. - Duas horas depois (às 03:00h),
.
Vamos considerar o tempo
às 01:00h.
Primeira condição (
):
Segunda condição (
horas):
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando
:
Passo 6
Agora, queremos descobrir o tempo
quando a temperatura do corpo era
(temperatura normal de uma pessoa viva).
Usamos a equação:
Subtraindo 20:
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando
:
Como o tempo negativo indica que a morte ocorreu antes da primeira medição (às 01:00h), convertemos 0,881 horas para minutos:
Então, a hora da morte foi aproximadamente às 00:07h.
Resposta
00:07h.
Exercícios relacionados
Cinemática. Suponha que a aceleração de uma partícula seja proporcional ao tempo
. Para
, a velocidade da partícula é
. Sabendo-se que ambas, a velocidade e coordenadas de posição são zero quando
, escreva as equações do movimento para a partícula. Resp.:
.
Crescimento populacional. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente, isto é,
, onde
é a quantidade em um tempo te
. Após uma hora observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura e, após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário . Resp.:
Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário
Considere um corpo que se move ao longo de um eixo
de tal forma que a sua aceleração
é sempre o dobro da sua velocidade
. Determine a equação que descreve a posição
desse corpo, sabendo que quando
temos posição nula e que
. Resp.:
.
Termologia. Conhecemos de observações experimentais que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa proporcional a diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei de resfriamento de Newton. Portanto, se
é a temperatura do objeto no tempo
e
é a temperatura ambiente constante, temos a relação:
depende do material de que é constituída a superfície do objeto. Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar
e resfriando a substância de
para
em 25 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de
. Resp.: Temos que
. Assim,
.