Considere um corpo que se move ao longo de um eixo de tal forma que a sua aceleração é sempre o dobro da sua velocidade . Determine a equação que descreve a posição desse corpo, sabendo que quando temos posição nula e que . Resp.: .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um corpo que se move ao longo de um eixo , e a aceleração desse corpo é sempre o dobro da sua velocidade . Ou seja, . Queremos encontrar a equação que descreve a posição desse corpo ao longo do tempo. Além disso, sabemos que quando , a posição inicial é zero ( ) e a velocidade inicial é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais que relacionam posição, velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é:
Mas o enunciado nos diz que . Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a velocidade com sua derivada.

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar . A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem e tem solução da forma:
onde é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 4

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo na solução geral:
Sabemos que , então:
Portanto, a solução para a velocidade é:

Passo 5

Agora que temos , vamos encontrar a posição . Lembramos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, temos:
Para encontrar , precisamos integrar essa expressão em relação ao tempo .

Passo 6

Vamos integrar a equação:
A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
Então, a equação para a posição é:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão fatorando :

Resposta

A posição do corpo em função do tempo é:

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