Considere um corpo que se move ao longo de um eixo
de tal forma que a sua aceleração
é sempre o dobro da sua velocidade
. Determine a equação que descreve a posição
desse corpo, sabendo que quando
temos posição nula e que
. Resp.:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um corpo que se move ao longo de um eixo
, e a aceleração
desse corpo é sempre o dobro da sua velocidade
. Ou seja,
. Queremos encontrar a equação que descreve a posição
desse corpo ao longo do tempo. Além disso, sabemos que quando
, a posição inicial é zero (
) e a velocidade inicial é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais que relacionam posição, velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é:
Mas o enunciado nos diz que
. Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a velocidade
com sua derivada.
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem e tem solução da forma:
onde
é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 4
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante
. Substituindo
na solução geral:
Sabemos que
, então:
Portanto, a solução para a velocidade é:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar a posição
. Lembramos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, temos:
Para encontrar
, precisamos integrar essa expressão em relação ao tempo
.
Passo 6
Vamos integrar a equação:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Então, a equação para a posição é:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão fatorando
:
Resposta
A posição do corpo em função do tempo é: