Considere um corpo que se move ao longo de um eixo s de tal forma que a sua aceleração a = a(t) é sempre o dobro da sua velocidade v = v(t). Determine a equação que descreve a posição s = s(t) desse corpo, sabendo que quando t = 0 temos posição nula e que v(0) = 3 m/s. Resp.: s(t) = (3/2)(e^(2 t) - 1).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um corpo que se move ao longo de um eixo s, e a aceleração a(t) desse corpo é sempre o dobro da sua velocidade v(t). Ou seja, . Queremos encontrar a equação que descreve a posição s(t) desse corpo ao longo do tempo. Além disso, sabemos que quando , a posição inicial é zero ( ) e a velocidade inicial é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais que relacionam posição, velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é:
Mas o enunciado nos diz que . Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a velocidade v(t) com sua derivada.

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar v(t). A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem e tem solução da forma:
onde C é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 4

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante C. Substituindo na solução geral:
Sabemos que , então:
Portanto, a solução para a velocidade é:

Passo 5

Agora que temos v(t), vamos encontrar a posição s(t). Lembramos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, temos:
Para encontrar s(t), precisamos integrar essa expressão em relação ao tempo t.

Passo 6

Vamos integrar a equação:
A integral de em relação a t é , então:
Onde C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
Então, a equação para a posição é:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão fatorando 3/2:

Resposta

A posição do corpo em função do tempo é:

Exercícios relacionados