Considere um corpo que se move ao longo de um eixo
de tal forma que a sua aceleração
é sempre o dobro da sua velocidade
. Determine a equação que descreve a posição
desse corpo, sabendo que quando
temos posição nula e que
. Resp.:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um corpo que se move ao longo de um eixo
, e a aceleração
desse corpo é sempre o dobro da sua velocidade
. Ou seja,
. Queremos encontrar a equação que descreve a posição
desse corpo ao longo do tempo. Além disso, sabemos que quando
, a posição inicial é zero (
) e a velocidade inicial é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais que relacionam posição, velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é:
Mas o enunciado nos diz que
. Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a velocidade
com sua derivada.
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem e tem solução da forma:
onde
é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 4
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante
. Substituindo
na solução geral:
Sabemos que
, então:
Portanto, a solução para a velocidade é:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar a posição
. Lembramos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, temos:
Para encontrar
, precisamos integrar essa expressão em relação ao tempo
.
Passo 6
Vamos integrar a equação:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Então, a equação para a posição é:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão fatorando
:
Resposta
A posição do corpo em função do tempo é:
Exercícios relacionados
O corpo de uma vitima de assassinato foi descoberto. O perito da policia chegou à 01:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver que era de
. Duas horas mais tarde ele tomou novamente a temperatura que era de
. A temperatura do quarto onde se encontrava a vitima era constante a
. Use a Lei de resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de
. Resp: 00:07h.
Cinemática. Suponha que a aceleração de uma partícula seja proporcional ao tempo
. Para
, a velocidade da partícula é
. Sabendo-se que ambas, a velocidade e coordenadas de posição são zero quando
, escreva as equações do movimento para a partícula. Resp.:
.
Termologia. Conhecemos de observações experimentais que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa proporcional a diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei de resfriamento de Newton. Portanto, se
é a temperatura do objeto no tempo
e
é a temperatura ambiente constante, temos a relação:
depende do material de que é constituída a superfície do objeto. Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar
e resfriando a substância de
para
em 25 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de
. Resp.: Temos que
. Assim,
.
Faça o estudo de sinais das funções abaixo.