Determine a equação de uma curva que passa pelo ponto ( 0, -2 ) de tal modo que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja igual a ordenada correspondente deste ponto aumentada de 3. Resp.: y = e^x - 3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma curva que passa pelo ponto (0, -2). Além disso, em cada ponto dessa curva, a inclinação da reta tangente (o coeficiente angular) deve ser igual à ordenada (a parte y do ponto) aumentada de 3. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que significa que o coeficiente angular da reta tangente é igual à ordenada aumentada de 3. Se a curva é definida por y = f(x), então a derivada f’(x) representa o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto.
Segundo o enunciado:
Mas como y = f(x), podemos escrever:

Passo 3

Agora temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método dos fatores integrantes.

Passo 4

Para resolver , identificamos:
  • P(x) = -1
  • Q(x) = 3
Calculamos o fator integrante:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:

Passo 6

Integrando ambos os lados:

Passo 7

Resolvendo para y:

Passo 8

Usamos o ponto dado (0, -2) para encontrar C:

Resposta

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