Determine a equação de uma curva que passa pelo ponto (
) de tal modo que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja igual a ordenada correspondente deste ponto aumentada de 3. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma curva que passa pelo ponto (0, -2). Além disso, em cada ponto dessa curva, a inclinação da reta tangente (o coeficiente angular) deve ser igual à ordenada (a parte y do ponto) aumentada de 3. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que significa que o coeficiente angular da reta tangente é igual à ordenada aumentada de 3. Se a curva é definida por y = f(x), então a derivada f’(x) representa o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto.
Segundo o enunciado:
Mas como y = f(x), podemos escrever:
Passo 3
Agora temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método dos fatores integrantes.
Passo 4
Para resolver
, identificamos:
- P(x) = -1
- Q(x) = 3
Calculamos o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Resolvendo para y:
Passo 8
Usamos o ponto dado (0, -2) para encontrar C: