Crescimento populacional. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente, isto é,
, onde
é a quantidade em um tempo te
. Após uma hora observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura e, após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário
. Resp.:
Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem uma cultura de bactérias que cresce de forma proporcional à quantidade que já existe. A equação que representa isso é
, onde
é a quantidade de bactérias no tempo
, e
é uma constante real. A gente sabe que após 1 hora tem 1000 bactérias e após 4 horas tem 3000. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
em qualquer tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e descreve crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
Onde
é a quantidade inicial de bactérias.
Passo 3
Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar o valor de
e
. Sabemos que após 1 hora,
:
E após 4 horas,
:
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 1000:
Passo 5
Para encontrar
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a primeira equação:
Passo 7
Finalmente, substituímos
e
na expressão geral de
:
Aproximando os valores: