Crescimento populacional. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente, isto é, dQ/dt = alpha . Q, onde Q = Q(t) é a quantidade em um tempo te alpha em R. Após uma hora observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura e, após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário t. Resp.: Q(t) = 694 * e^(0,366 * t)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem uma cultura de bactérias que cresce de forma proporcional à quantidade que já existe. A equação que representa isso é , onde Q(t) é a quantidade de bactérias no tempo t, e alpha é uma constante real. A gente sabe que após 1 hora tem 1000 bactérias e após 4 horas tem 3000. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para Q(t) em qualquer tempo t.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e descreve crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
Onde é a quantidade inicial de bactérias.

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar o valor de e alpha. Sabemos que após 1 hora, :
E após 4 horas, :

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 1000:

Passo 5

Para encontrar alpha, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:

Passo 6

Agora que temos alpha, podemos encontrar usando a primeira equação:

Passo 7

Finalmente, substituímos e alpha na expressão geral de Q(t):
Aproximando os valores:

Resposta

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