Crescimento populacional. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente, isto é, , onde é a quantidade em um tempo te . Após uma hora observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura e, após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário . Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem uma cultura de bactérias que cresce de forma proporcional à quantidade que já existe. A equação que representa isso é , onde é a quantidade de bactérias no tempo , e é uma constante real. A gente sabe que após 1 hora tem 1000 bactérias e após 4 horas tem 3000. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para em qualquer tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e descreve crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
Onde é a quantidade inicial de bactérias.

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar o valor de e . Sabemos que após 1 hora, :
E após 4 horas, :

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 1000:

Passo 5

Para encontrar , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar usando a primeira equação:

Passo 7

Finalmente, substituímos e na expressão geral de :
Aproximando os valores:

Resposta

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Determine a equação de uma curva que passa pelo ponto ( ) de tal modo que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja igual a ordenada correspondente deste ponto aumentada de 3. Resp.: .
Determine a função que satisfaça as condições dadas:
e . Resp:
Cinemática. Suponha que a aceleração de uma partícula seja proporcional ao tempo . Para , a velocidade da partícula é . Sabendo-se que ambas, a velocidade e coordenadas de posição são zero quando , escreva as equações do movimento para a partícula. Resp.: .
O corpo de uma vitima de assassinato foi descoberto. O perito da policia chegou à 01:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver que era de . Duas horas mais tarde ele tomou novamente a temperatura que era de . A temperatura do quarto onde se encontrava a vitima era constante a . Use a Lei de resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de . Resp: 00:07h.