Cinquenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos t anos, a população x desses animais é estimada por X(t)=50*(t^2+6*t+30)/(t^2+30) Em que instante essa população animal atinge seu máximo? Quanto vale?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma reserva com 50 animais ameaçados de extinção, e a população desses animais cresce ao longo do tempo, seguindo a função . A gente precisa descobrir em que momento essa população atinge o seu pico máximo e qual é esse valor máximo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a função atinge seu máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar o ponto máximo de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função, e quando ela é zero, isso indica que a função está no seu ponto de máximo ou mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Nossa função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Para encontrar o ponto crítico, igualamos a derivada a zero:

Passo 7

Agora que temos o valor de onde a população atinge o máximo, vamos substituir esse valor na função original para encontrar o valor máximo da população:

Resposta

A população de animais atinge seu máximo aproximadamente após anos, com um valor máximo de cerca de animais.

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