Cinquenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos anos, a população desses animais é estimada por Em que instante essa população animal atinge seu máximo? Quanto vale?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma reserva com 50 animais ameaçados de extinção, e a população desses animais cresce ao longo do tempo, seguindo a função . A gente precisa descobrir em que momento essa população atinge o seu pico máximo e qual é esse valor máximo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a função atinge seu máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar o ponto máximo de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função, e quando ela é zero, isso indica que a função está no seu ponto de máximo ou mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Nossa função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Para encontrar o ponto crítico, igualamos a derivada a zero:

Passo 7

Agora que temos o valor de onde a população atinge o máximo, vamos substituir esse valor na função original para encontrar o valor máximo da população:

Resposta

A população de animais atinge seu máximo aproximadamente após anos, com um valor máximo de cerca de animais.

Exercícios relacionados

Em um laboratório farmacêutico, conclui-se que um modelo bastante realista para descrever a relação entre pressão sanguínea (sistólica) e a quantidade de um novo medicamento que é administrado para reduzir a pressão sistólica é dado por . é medido em milímetros de mercúrio, e á quantidade, em miligramas, do medicamento administrado 30 minutos antes da leitura de . é a pressão antes de o paciente tomar o medicamento e varia de um paciente para outro. De modo geral, porém, pode-se supor que . Se um certo paciente tem uma pressão sistólica inicial de 200 e 10 mg do medicamento lhe são dados, qual será sua pressão 30 minutos mais tarde?
Um psicólogo constata que a capacidade de aprender ou compreender novos conceitos e ideias depende da idade, e que esta capacidade pode ser representada por após anos. Com que idade a capacidade de aprendizagem é máxima?
Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?
Um paciente, submetido a uma dieta, tem adicionado, a cada quilograma de sua alimentação normal, gramas de um medicamento. A quantidade de alimentos consumida em função de é dada por . Determine a quantidade de medicamento que minimizará o consumo de alimentos pelo paciente.