Cinquenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos
anos, a população
desses animais é estimada por
Em que instante essa população animal atinge seu máximo? Quanto vale?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma reserva com 50 animais ameaçados de extinção, e a população desses animais cresce ao longo do tempo, seguindo a função
. A gente precisa descobrir em que momento essa população atinge o seu pico máximo e qual é esse valor máximo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a função atinge seu máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar o ponto máximo de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função, e quando ela é zero, isso indica que a função está no seu ponto de máximo ou mínimo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Nossa função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos
, a derivada é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Para encontrar o ponto crítico, igualamos a derivada a zero:
Passo 7
Agora que temos o valor de
onde a população atinge o máximo, vamos substituir esse valor na função original para encontrar o valor máximo da população:
Resposta
A população de animais atinge seu máximo aproximadamente após
anos, com um valor máximo de cerca de
animais.