Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. A2(t) = -1.8 t^3 + 5.4 t A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre testar a eficácia de dois analgésicos diferentes. A função que representa a eficácia do segundo analgésico em relação ao tempo é . Nosso objetivo é descobrir em que hora esse analgésico proporciona o alívio máximo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a eficácia atinge seu pico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o alívio máximo ocorre no ponto onde a eficácia é maior, ou seja, no ponto de máximo da função . Para encontrar esse ponto, vamos calcular a derivada da função em relação ao tempo . A derivada nos dá a taxa de variação da eficácia ao longo do tempo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Aqui, usamos a regra básica de derivação onde a derivada de é .

Passo 4

Agora, para encontrar o ponto de máximo, vamos igualar a derivada a zero e resolver para :
Simplificando a equação:
Como o tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos .

Passo 5

Então, hora. Mas precisamos verificar se realmente é um ponto de máximo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada:
Avaliar a segunda derivada em :
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que é um ponto de máximo.

Resposta

O segundo analgésico proporciona um alívio máximo após 1 hora.

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