Para o ar a 0^circ C e 20 atm muJT=0,249 K atm^-1 A 0 ^circ C e 1 atm, muJT=0,266 K atm ^-1. Aproximando-se o coeficiente Joule-Thomson como uma função linear da pressão, calcule o esfriamento observado quando o ar passa de 20 atm para 1 atm numa expansão estrangulada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um gás, que no caso é o ar, passando de uma pressão de 20 atm para 1 atm numa expansão estrangulada (ou processo de Joule-Thomson). A temperatura do ar muda durante esse processo, e queremos descobrir quanto ele esfria. Para isso, vamos usar o coeficiente de Joule-Thomson (μ_JT), que relaciona a variação de temperatura com a variação de pressão durante essa expansão.

Passo 2

A questão nos dá dois valores do coeficiente de Joule-Thomson para o ar a 0°C:
  • Quando a pressão é 20 atm, μ_JT = 0,249 K/atm
  • Quando a pressão é 1 atm, μ_JT = 0,266 K/atm
E nos pede para assumir que o μ_JT varia de forma linear com a pressão. Ou seja, podemos escrever μ_JT como uma função linear da pressão §:
muJT(P) = aP + b

Passo 3

Nosso próximo passo é encontrar os coeficientes “a” e “b” dessa função linear. Sabemos que:
Para P = 20 atm:
0,249 = a times 20 + b (1)
Para P = 1 atm:
0,266 = a times 1 + b (2)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a equação (2) da equação (1):
0,249 - 0,266 = a times (20 - 1) + b - b
-0,017 = 19a
a = -0,01719 approx -0,0008947 , K/atm^2
Agora, substituímos o valor de “a” na equação (2) para encontrar “b”:
0,266 = (-0,0008947) times 1 + b
b = 0,266 + 0,0008947 approx 0,266895 , K/atm

Passo 5

Agora que temos a função linear para μ_JT:
muJT(P) = -0,0008947 P + 0,266895
Para encontrar o esfriamento total (ΔT) quando a pressão cai de 20 atm para 1 atm, precisamos integrar μ_JT em relação à pressão nesse intervalo:
De

Passo 6

Vamos calcular a integral:
De
De
Calculando nos limites:
Para P = 1 atm:
-0,0008947 times 1^22 + 0,266895 times 1 = -0,00044735 + 0,266895 = 0,26644765 , K
Para P = 20 atm:
-0,0008947 times 20^22 + 0,266895 times 20 = -0,0008947 times 200 + 5,3379 = -0,17894 + 5,3379 = 5,15896 , K
Agora, subtraímos o valor em P = 1 atm pelo valor em P = 20 atm:
De

Resposta

O esfriamento observado durante a expansão estrangulada do ar de 20 atm para 1 atm é de aproximadamente 4,89 K.

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