1^circ ) Dados os subespaços vetoriais do R^2, R^3 ou M2, determinar o conjunto gerador
M=(x, y, z) / x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre subespaços vetoriais em espaços como , ou (que são matrizes 2x2). A tarefa é determinar o conjunto gerador . Isso significa que estamos olhando para todos os vetores onde a primeira coordenada é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como identificar os vetores que formam esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto gerador de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores a partir dos quais conseguimos obter qualquer vetor do subespaço usando combinações lineares. Em outras palavras, se tivermos um conjunto gerador, podemos “gerar” todo o subespaço a partir dele.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em todos os vetores em onde a primeira coordenada é zero. Então, esses vetores têm a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Para encontrar um conjunto gerador para (0, y, z) = y cdot (0, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1) , precisamos identificar vetores que, quando combinados linearmente, possam formar qualquer vetor de . Olhando para , percebemos que podemos expressar isso como uma combinação de dois vetores básicos:
Aqui, e são os vetores básicos que vão gerar qualquer vetor em .

Passo 5

Portanto, o conjunto gerador é formado pelos vetores e . Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o subespaço , pois qualquer vetor de pode ser escrito como uma combinação linear desses dois.

Resposta

O conjunto gerador é .

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