) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre subespaços vetoriais em espaços como , ou (que são matrizes 2x2). A tarefa é determinar o conjunto gerador . Isso significa que estamos olhando para todos os vetores onde a primeira coordenada é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como identificar os vetores que formam esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto gerador de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores a partir dos quais conseguimos obter qualquer vetor do subespaço usando combinações lineares. Em outras palavras, se tivermos um conjunto gerador, podemos “gerar” todo o subespaço a partir dele.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em todos os vetores em onde a primeira coordenada é zero. Então, esses vetores têm a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Para encontrar um conjunto gerador para , precisamos identificar vetores que, quando combinados linearmente, possam formar qualquer vetor de . Olhando para , percebemos que podemos expressar isso como uma combinação de dois vetores básicos:
Aqui, e são os vetores básicos que vão gerar qualquer vetor em .

Passo 5

Portanto, o conjunto gerador é formado pelos vetores e . Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o subespaço , pois qualquer vetor de pode ser escrito como uma combinação linear desses dois.

Resposta

O conjunto gerador é .

Exercícios relacionados

Seja o conjunto tais que:
A dimensão de é:
(A) 2
(B) 13
© 11
(D) 3
(E) 4
(F) 12
(G) 10
(H) 9
(I) Não sei
Seja um conjunto de 3 vetores distintos de . Sejam . Considere as afirmativas abaixo:
I - Se não são colineares, então é uma base de . II - Se e são todos LIs, então é LI.
III - Se é LD, então não pode ser LI.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Todas são verdadeiras.
(I) Não sei
Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Considere em duas transformações lineares: Uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão através do eixo . A matrix que representa a transformação linear é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei