) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre subespaços vetoriais em espaços como , ou (que são matrizes 2x2). A tarefa é determinar o conjunto gerador . Isso significa que estamos olhando para todos os vetores onde a primeira coordenada é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como identificar os vetores que formam esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto gerador de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores a partir dos quais conseguimos obter qualquer vetor do subespaço usando combinações lineares. Em outras palavras, se tivermos um conjunto gerador, podemos “gerar” todo o subespaço a partir dele.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em todos os vetores em onde a primeira coordenada é zero. Então, esses vetores têm a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Para encontrar um conjunto gerador para , precisamos identificar vetores que, quando combinados linearmente, possam formar qualquer vetor de . Olhando para , percebemos que podemos expressar isso como uma combinação de dois vetores básicos:
Aqui, e são os vetores básicos que vão gerar qualquer vetor em .
Passo 5
Portanto, o conjunto gerador é formado pelos vetores e . Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o subespaço , pois qualquer vetor de pode ser escrito como uma combinação linear desses dois.