) Dados os subespaços vetoriais do
ou
, determinar o conjunto gerador
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre subespaços vetoriais em espaços como
,
ou
(que são matrizes 2x2). A tarefa é determinar o conjunto gerador
. Isso significa que estamos olhando para todos os vetores onde a primeira coordenada é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como identificar os vetores que formam esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto gerador de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores a partir dos quais conseguimos obter qualquer vetor do subespaço usando combinações lineares. Em outras palavras, se tivermos um conjunto gerador, podemos “gerar” todo o subespaço a partir dele.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto consiste em todos os vetores em
onde a primeira coordenada é zero. Então, esses vetores têm a forma
, onde
e
podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Para encontrar um conjunto gerador para
, precisamos identificar vetores que, quando combinados linearmente, possam formar qualquer vetor de
. Olhando para
, percebemos que podemos expressar isso como uma combinação de dois vetores básicos:
Aqui,
e
são os vetores básicos que vão gerar qualquer vetor em
.
Passo 5
Portanto, o conjunto gerador
é formado pelos vetores
e
. Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o subespaço
, pois qualquer vetor de
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois.
Resposta
O conjunto gerador é
.