Seja um conjunto de 3 vetores distintos de . Sejam . Considere as afirmativas abaixo:
I - Se não são colineares, então é uma base de . II - Se e são todos LIs, então é LI.
III - Se é LD, então não pode ser LI.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Todas são verdadeiras.
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três vetores distintos em e analisa algumas afirmações sobre a independência linear deles. A gente vai precisar entender conceitos de independência linear, base e dependência linear para resolver isso. Então, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Afirmação I:
Se não são colineares, então é uma base de .
Colineares significa que todos os vetores estão na mesma linha, ou seja, um é múltiplo do outro. Se eles não são colineares, isso quer dizer que não estão todos na mesma linha, mas ainda assim podem estar no mesmo plano. Para formar uma base de , os vetores precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. Só não sendo colineares não garante que eles sejam independentes ou que gerem . Então, essa afirmação não é necessariamente verdadeira.

Passo 3

Agora, a Afirmação II:
Se e são todos LI (linearmente independentes), então é LI.
Aqui, , e são subconjuntos de . Se todos esses pares são linearmente independentes, significa que nenhum vetor é múltiplo do outro dentro de cada par. Isso implica que os três vetores são linearmente independentes, pois não há combinação linear que os anule. Portanto, é linearmente independente.

Passo 4

Vamos para a Afirmação III:
Se é LD (linearmente dependente), então não pode ser LI.
Se é linearmente dependente, significa que um dos vetores é múltiplo do outro, ou seja, para algum escalar . Se isso acontece, então no conjunto , já temos dois vetores que são múltiplos, o que necessariamente faz com que seja linearmente dependente. Logo, essa afirmação é verdadeira.

Resposta

A opção correta é a (E) Apenas II e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes onde é a entrada da matriz da linha , coluna ) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto é um subespaço vetorial.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei
Uma equação paramétrica do plano , onde são parâmetros, é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Seja o conjunto tais que:
A dimensão de é:
(A) 2
(B) 13
© 11
(D) 3
(E) 4
(F) 12
(G) 10
(H) 9
(I) Não sei
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador