Seja theta o ângulo entre os vetores (-4,-4,1,-1) e (-1,-1,3,1) em R^4. Assinale a alternativa correta:
(A) pi / 3
(B) 2 pi / 3
© 3 pi / 4
(D) pi / 2
(E) 5 pi / 6
(F) 0
(G) pi / 6
(H) pi / 4
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo theta entre dois vetores no espaço de 4 dimensões, R^4. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou produto interno) e as normas dos vetores. Precisamos calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes (normas) de cada um deles para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dois vetores:
u = (-4, -4, 1, -1)
v = (-1, -1, 3, 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar em R^4 é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4
Substituindo os valores:
u cdot v = (-4)(-1) + (-4)(-1) + (1)(3) + (-1)(1) = 4 + 4 + 3 - 1 = 10

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores u e v. A norma de um vetor w = (w1, w2, w3, w4) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 + w4^2
Calculando para u:
|u| = raiz(-4)^2 + (-4)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz16 + 16 + 1 + 1 = raiz34
E para v:
|v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 3^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 9 + 1 = raiz12

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo theta entre os dois vetores:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que calculamos:
cos theta = 10raiz34 times raiz12 = 10raiz408 approx 1020.199 approx 0.495

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, vamos tirar o arco cosseno (função inversa do cosseno) desse valor:
theta = arccos(0.495) approx 60.2^circ
Convertendo para radianos:
60^circ approx pi3 radianos

Passo 7

Agora, comparando o valor encontrado com as alternativas fornecidas:
  • theta approx pi3
Então, o ângulo está entre pi3 e pi2.

Resposta

(A) pi / 3

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