Considere em R^2 duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) [rr12 & -raiz32 -raiz32 & -12]
(B) [rr-12 & raiz32 0 & 0]
© [rr-12 & -raiz32 -raiz32 & 12]
(D) [ll0 & raiz32 0 & -12]
(E) [rr-12 & raiz32 raiz32 & 12]
(F) [rr-12 & 0 -raiz32 & 0]
(G) [rr0 & 0 -raiz32 & -12]
(H) [rr12 & raiz32 raiz32 & -12]
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas transformações lineares no plano: uma rotação de 240 graus no sentido anti-horário e uma reflexão sobre o eixo . Precisamos encontrar a matriz que representa a composição dessas duas transformações, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de rotação e reflexão, além de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como representar uma rotação em matriz. A matriz de rotação R = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta por um ângulo no sentido anti-horário é dada por:
No nosso caso, . Vamos calcular os valores de e .

Passo 3

Sabemos que:
cos 240^circ = cos (180^circ + 60^circ) = -cos 60^circ = -12
sin 240^circ = sin (180^circ + 60^circ) = -sin 60^circ = -raiz32
Então, substituindo esses valores na matriz de rotação:
R = - 12 & raiz32 - raiz32 & -12

Passo 4

Agora, vamos considerar a reflexão T = -1 & 0 0 & 1 sobre o eixo . A matriz que representa essa reflexão é:
Isso porque a reflexão sobre o eixo inverte a coordenada e mantém a igual.

Passo 5

A próxima etapa é encontrar a matriz da composição TR = T times R = -1 & 0 0 & 1 - 12 & raiz32 - raiz32 & -12 , que significa primeiro aplicar a rotação e depois a reflexão . Para isso, multiplicamos as matrizes e :

Passo 6

Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
TR = (-1) times (-12) + 0 times (-raiz32) & (-1) times (raiz32) + 0 times (-12) 0 times (-12) + 1 times (-raiz32) & 0 times (raiz32) + 1 times (-12)
Simplificando cada elemento:
TR = 12 & -raiz32 - raiz32 & -12

Resposta

A matriz que representa a transformação linear [rr12 & -raiz32 -raiz32 & -12] é:
Portanto, a resposta correta é a alternativa (A).

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