Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas transformações lineares no plano: uma rotação de 240 graus no sentido anti-horário e uma reflexão sobre o eixo . Precisamos encontrar a matriz que representa a composição dessas duas transformações, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de rotação e reflexão, além de multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como representar uma rotação em matriz. A matriz de rotação por um ângulo no sentido anti-horário é dada por:
No nosso caso, . Vamos calcular os valores de e .
Passo 3
Sabemos que:
Então, substituindo esses valores na matriz de rotação:
Passo 4
Agora, vamos considerar a reflexão sobre o eixo . A matriz que representa essa reflexão é:
Isso porque a reflexão sobre o eixo inverte a coordenada e mantém a igual.
Passo 5
A próxima etapa é encontrar a matriz da composição , que significa primeiro aplicar a rotação e depois a reflexão . Para isso, multiplicamos as matrizes e :