Considere em duas transformações lineares: Uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão através do eixo . A matrix que representa a transformação linear é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas transformações lineares no plano: uma rotação de 240 graus no sentido anti-horário e uma reflexão sobre o eixo . Precisamos encontrar a matriz que representa a composição dessas duas transformações, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de rotação e reflexão, além de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como representar uma rotação em matriz. A matriz de rotação por um ângulo no sentido anti-horário é dada por:
No nosso caso, . Vamos calcular os valores de e .

Passo 3

Sabemos que:
Então, substituindo esses valores na matriz de rotação:

Passo 4

Agora, vamos considerar a reflexão sobre o eixo . A matriz que representa essa reflexão é:
Isso porque a reflexão sobre o eixo inverte a coordenada e mantém a igual.

Passo 5

A próxima etapa é encontrar a matriz da composição , que significa primeiro aplicar a rotação e depois a reflexão . Para isso, multiplicamos as matrizes e :

Passo 6

Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
Simplificando cada elemento:

Resposta

A matriz que representa a transformação linear é:
Portanto, a resposta correta é a alternativa (A).

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Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
Considere o subespaço definido por: . Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Sejam
Calcule , a projeção ortogonal de sobre . O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 5
(B) 7
© 4
(D) 6
(E) 3
(F) 1
(G) 8
(H) 2
(I) Não sei